구조역학: 벼락치기 팩

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
w = 12 kN/mP = 35 kNABMA​ = ?8 m

캔틸레버 보는 A에서 벽에 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, 벽에서 8 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 벽의 반력 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.

L = 8 mP = 35 kN 위치 8 mw = 12 kN/m, 0부터 8 m까지
MA = kN·m
2.보의 지점 반력어려움
P = 60 kN, 60°Q = 50 kNABα = ?1 m2 m5 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 3 m 떨어진 곳에 수평과 60°를 이루는 하중 P가, A에서 1 m 떨어진 곳에 연직 하중 Q가 작용한다. 힌지 A의 전체 반력이 수평과 이루는 각 α을(를) 구하시오.

L = 8 mP = 60 kN 위치 3 m, θ = 60°Q = 50 kN 위치 1 m
α = °
3.전단력과 휨 모멘트보통
w = 10 kN/mAB단면2 m4 m

지점 A에서 x = 2 m인 단면의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mw = 10 kN/m, 0부터 6 m까지x = 2 m
Vx = kN
4.전단력과 휨 모멘트어려움
35 kN50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

35 kN @ 6 m50 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB15 kN5 m4 m2 m

절점법으로 부재 AB의 부재력 FAB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 5 m높이 = 2 mB는 A에서 4 m연직 하중 = 15 kN
FAB = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB15 kN5 kN8 m5 m2 m

절점법으로 부재 AB의 부재력 FAB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 2 mB는 A에서 5 m연직 하중 = 15 kN수평 하중 = 5 kN ←
FAB = kN
7.보의 처짐보통
w = 2 kN/mδL = 8 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.보의 처짐어려움
w = 2 kN/mABδ3.5 m

폭 75 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/300을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 hreq을(를) 구하시오.

w = 2 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 75 mm
hreq = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 2.5 md = 50 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 50 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 2.5 md = 50 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 50 mm
σcr = MPa

3용액

1.보의 지점 반력

답: MA = 664 kN·m

캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.

분포 하중의 합력

W = 12·8 = 96 kN, x̄ = 4 m

벽에 대한 모멘트

MA = P·a + W·x̄ = 35·8 + 96·4 = 664 kN·m

답

MA = 664 kN·m
2.보의 지점 반력

답: α = 68.52 °

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

P의 성분

Pv = 60·sin 60° = 51.96 kN
Ph = 60·cos 60° = 30 kN

반력

ΣMA = 0: RB·8 = 51.96·3 + 50·1 → RB = 25.74 kN
Ay = 51.96 + 50 − 25.74 = 76.23 kN
Ax = Ph = 30 kN

A에서의 방향

α = atan(Ay/Ax) = atan(76.23/30) = 68.52°

답

α = 68.52°
3.전단력과 휨 모멘트

답: Vx = 10 kN

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·6·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 30RB​ = 30단면2 m4 m

x = 2 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

V = RA − (절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중)
Vx = 30 − 10·2 = 10 kN

답

Vx = 10 kN
4.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 4 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 7.5 kN, R2 = 77.5 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 7.5, MC = 15, MD = −27.5, ME = −70 kN·m, MF = −35, MG = 0

답

표시점 E: ME = −70 kN·m
5.트러스: 절점법

답: FAB = −6.708 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·5 = 15·4 → Cy = 12 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 12 = 3 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 2/4.472 = 0.4472
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3/0.4472 = −6.708 kN

답

FAB = −6.708 kN (압축)
6.트러스: 절점법

답: FAB = −18.51 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB15 kN5 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·5 − 5·2 → Cy = 8.125 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 8.125 = 6.875 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 2/5.385 = 0.3714
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6.875/0.3714 = −18.51 kN

답

FAB = −18.51 kN (압축)
7.보의 처짐

답: δmax = 12.7 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

처짐

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 12.7 mm

답

δmax = 12.7 mm
8.보의 처짐

답: hreq = 169.5 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δallow = L/300 = 3500/300 = 11.67 mm

필요한 단면 2차 모멘트

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·3500⁴/(384·11000·11.67) = 3.045 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = Ireq → h = (12·3.045 × 10⁷/75)1/3 = 169.5 mm

답

hreq = 169.5 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 8.478 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·2500 = 5000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8.478 kN

답

Pcr = 8.478 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 17.27 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/12.5 = 200

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

답

σcr = 17.27 MPa

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