구조역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
w = 3 kN/mP = 40 kNABMA​ = ?5 m5 m

캔틸레버 보는 A에서 벽에 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, 벽에서 5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 벽의 반력 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.

L = 10 mP = 40 kN 위치 5 mw = 3 kN/m, 0부터 10 m까지
MA = kN·m
2.보의 지점 반력어려움
P = 50 kN, 45°Q = 55 kNABRA​ = ?2 m1 m1 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 3 m 떨어진 곳에 수평과 45°를 이루는 하중 P가, A에서 2 m 떨어진 곳에 연직 하중 Q가 작용한다. 힌지 A의 전체 반력 크기 RA을(를) 구하시오.

L = 4 mP = 50 kN 위치 3 m, θ = 45°Q = 55 kN 위치 2 m
RA = kN
3.전단력과 휨 모멘트보통
M0​ = 20 kN·mAB2 m6 m

단순보의 A에서 x = 2 m인 곳에 시계 방향 우력 M0 = 20 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 왼쪽의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mM0 = 20 kN·m 시계 방향, 위치 2 m
Mx = kN·m
4.전단력과 휨 모멘트어려움
10 kN35 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

10 kN @ 0 m35 kN @ 12 m55 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB35 kN4 m1 m2 m

절점법으로 부재 AB의 부재력 FAB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 4 m높이 = 2 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 35 kN
FAB = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB50 kN15 kN6 m5 m3 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 3 mB는 A에서 5 m연직 하중 = 50 kN수평 하중 = 15 kN →
FBC = kN
7.보의 처짐보통
w = 5 kN/mP = 2 kNABδ3 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가, 자유단에 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

P = 2 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (강철)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.보의 처짐어려움
w = 1 kN/mABδ4.5 m

폭 100 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/250을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 hreq을(를) 구하시오.

w = 1 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 100 mm
hreq = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 3 m30 × 80 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 15 kNL = 2 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 15 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 15 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm

3용액

1.보의 지점 반력

답: MA = 350 kN·m

캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.

분포 하중의 합력

W = 3·10 = 30 kN, x̄ = 5 m

벽에 대한 모멘트

MA = P·a + W·x̄ = 40·5 + 30·5 = 350 kN·m

답

MA = 350 kN·m
2.보의 지점 반력

답: RA = 50.7 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

P의 성분

Pv = 50·sin 45° = 35.36 kN
Ph = 50·cos 45° = 35.36 kN

반력

ΣMA = 0: RB·4 = 35.36·3 + 55·2 → RB = 54.02 kN
Ay = 35.36 + 55 − 54.02 = 36.34 kN
Ax = Ph = 35.36 kN

A의 합력

RA = √(35.36² + 36.34²) = 50.7 kN

답

RA = 50.7 kN
3.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = −5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.

지점 반력

A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: RB·L − M0 = 0. 연직 평형: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 20/8 = 2.5 kN (위쪽)
RA = −RB = −2.5 kN (아래쪽)

우력 바로 왼쪽에서 자른다

왼쪽 부분에는 RA만 포함됩니다.

Mx = RA·a = −2.5·2 = −5 kN·m

답

Mx = −5 kN·m
4.전단력과 휨 모멘트

답: F (x = 10 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 45 kN, R2 = 55 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = −20, MC = 50, MD = 10, ME = −30, MF = −70 kN·m, MG = 0

답

표시점 F: MF = −70 kN·m
5.트러스: 절점법

답: FAB = −29.35 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·1 → Cy = 8.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 8.75 = 26.25 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −26.25/0.8944 = −29.35 kN

답

FAB = −29.35 kN (압축)
6.트러스: 절점법

답: FBC = −51.83 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB50 kN15 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·5 + 15·3 → Cy = 49.17 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 49.17 = 0.8333 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −49.17/0.9487 = −51.83 kN

답

FBC = −51.83 kN (압축)
7.보의 처짐

답: δ = 2.145 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 2000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

각 하중을 따로

δP = PL³/(3EI) = 2000·3000³/(3·3.2 × 10¹³) = 0.5625 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·3.2 × 10¹³) = 1.582 mm

더하기

δ = 0.5625 + 1.582 = 2.145 mm

답

δ = 2.145 mm
8.보의 처짐

답: hreq = 147.9 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δallow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

필요한 단면 2차 모멘트

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·4500⁴/(384·11000·18) = 2.697 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = Ireq → h = (12·2.697 × 10⁷/100)1/3 = 147.9 mm

답

hreq = 147.9 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 80.57 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/2100² = 80568 N = 80.57 kN

답

Pcr = 80.57 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 43.37 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·15000 = 30000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 43.37 mm

답

d = 43.37 mm

확인: 세장비 KL/r는 184.5이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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