구조역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
P = 25 kNM = 15 kN·mABRA​ = ?1.5 m0.5 m2 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 1.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가, A에서 2 m 떨어진 곳에 시계 방향 우력 M이 작용한다. 위쪽을 양으로 하여 연직 반력 RA을(를) 구하시오.

L = 4 mP = 25 kN 위치 1.5 mM = 15 kN·m (시계 방향) 위치 2 m
RA = kN
2.보의 지점 반력어려움
w0​ = 15 kN/mP = 20 kNABMA​ = ?6 m

캔틸레버 보는 A에서 벽에 고정되어 있다. 벽에서 0이고 자유단 B에서 15 kN/m로 증가하는 선형 분포 하중과, 벽에서 6 m 떨어진 곳의 집중 하중 P가 작용한다. 벽의 반력 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.

L = 6 mw0 = 15 kN/mP = 20 kN 위치 6 m
MA = kN·m
3.전단력과 휨 모멘트보통
P1​ = 50 kNP2​ = 60 kNAB4 m3 m3 m

단순보에 두 개의 집중 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 10 mP1 = 50 kN 위치 4 mP2 = 60 kN 위치 7 m
Mmax = kN·m
4.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 2 kN/mP = 45 kNAB단면1.5 m0.5 m2 m

지점 A에서 x = 1.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 4 mP = 45 kN 위치 2 mw = 2 kN/m, 0부터 4 m까지x = 1.5 m
Mx = kN·m
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB40 kN8 m1 m2 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 2 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 40 kN
FBC = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB40 kN5 kN6 m5 m4 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 4 mB는 A에서 5 m연직 하중 = 40 kN수평 하중 = 5 kN →
FBC = kN
7.보의 처짐보통
w = 20 kN/mδL = 1.5 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 20 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.보의 처짐어려움
w = 4 kN/mP = 4 kNδL = 2.5 m

단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δmax을(를) 구하시오.

P = 4 kNw = 4 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (강철)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 1.5 m25 × 100 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 65 kNL = 3 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 65 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 65 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm

3용액

1.보의 지점 반력

답: RA = 11.88 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

A에 대한 모멘트

반시계 방향을 양으로.

ΣMA = 0: RB·4 − 25·1.5 − 15 = 0
RB = 52.5/4 = 13.13 kN

연직 방향 평형

RA = 25 − 13.13 = 11.88 kN

답

RA = 11.88 kN

음의 반력은 아래로 작용합니다.

2.보의 지점 반력

답: MA = 300 kN·m

캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.

삼각형 하중의 합력

W = ½·15·6 = 45 kN
x̄ = 2L/3 = 4 m

벽에 대한 모멘트

MA = W·x̄ + P·a = 45·4 + 20·6 = 300 kN·m

답

MA = 300 kN·m
3.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 192 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

ΣMA = 0: RB·10 = 50·4 + 60·7
RB = 620/10 = 62 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 62 = 48 kN

각 하중 아래의 모멘트

각 하중의 왼쪽 부분을 남깁니다.

아래 P1: M = RA·4 = 48·4 = 192 kN·m
아래 P2: M = RB·3 = 62·3 = 186 kN·m

최댓값

Mmax = 192 kN·m (아래 P1)

답

Mmax = 192 kN·m
4.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 37.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·2 + 2·4·2
RB = 106/4 = 26.5 kN
ΣFy = 0: RA = 53 − 26.5 = 26.5 kN
w = 2 kN/mP = 45 kNABRA​ = 26.5RB​ = 26.5단면1.5 m0.5 m2 m

x = 1.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 26.5·1.5 − 2·1.5·0.75 = 37.5 kN·m

답

Mx = 37.5 kN·m
5.트러스: 절점법

답: FBC = −18.2 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·8 = 40·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 5 = 35 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 2/7.28 = 0.2747, cos γ = 7/7.28 = 0.9615
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0.2747 = −18.2 kN

답

FBC = −18.2 kN (압축)
6.트러스: 절점법

답: FBC = −37.8 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB40 kN5 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·5 + 5·4 → Cy = 36.67 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 36.67 = 3.333 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −36.67/0.9701 = −37.8 kN

답

FBC = −37.8 kN (압축)
7.보의 처짐

답: δ = 2.152 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 1500 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·5.88 × 10¹²) = 2.152 mm

답

δ = 2.152 mm
8.보의 처짐

답: δmax = 1.963 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 4000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

각 하중을 따로

δP = PL³/(48EI) = 4000·2500³/(48·1.7 × 10¹²) = 0.7659 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 1.197 mm

더하기

δmax = 0.7659 + 1.197 = 1.963 mm

답

δmax = 1.963 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 456.9 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·1500 = 750 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/750² = 456926 N = 456.9 kN

답

Pcr = 456.9 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 54.19 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 54.19 mm

답

d = 54.19 mm

확인: 세장비 KL/r는 110.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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