구조역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
P1​ = 15 kNP2​ = 55 kNABRA​ = ?RB​1 m3 m4 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 RA을(를) 구하시오.

L = 8 mP1 = 15 kN 위치 1 mP2 = 55 kN 위치 4 m
RA = kN
2.보의 지점 반력어려움
P = 55 kN, 30°Q = 70 kNABα = ?1 m2.5 m2.5 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 3.5 m 떨어진 곳에 수평과 30°를 이루는 하중 P가, A에서 1 m 떨어진 곳에 연직 하중 Q가 작용한다. 힌지 A의 전체 반력이 수평과 이루는 각 α을(를) 구하시오.

L = 6 mP = 55 kN 위치 3.5 m, θ = 30°Q = 70 kN 위치 1 m
α = °
3.전단력과 휨 모멘트보통
P1​ = 40 kNP2​ = 45 kNAB1.5 m2 m2.5 m

단순보에 두 개의 집중 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 6 mP1 = 40 kN 위치 1.5 mP2 = 45 kN 위치 3.5 m
Mmax = kN·m
4.전단력과 휨 모멘트어려움
5 kN/m40 kN60 kN30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

40 kN @ 0 m60 kN @ 12 m30 kN @ 6 m5 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB25 kN6 m1 m2 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 2 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 25 kN
FBC = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB25 kN5 kN5 m1 m3 m

절점법으로 부재 AC의 부재력 FAC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 5 m높이 = 3 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 25 kN수평 하중 = 5 kN ←
FAC = kN
7.보의 처짐보통
w = 6 kN/mABθ2.5 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θA을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (강철)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.보의 처짐어려움
w = 20 kN/mP = 6 kNδL = 2 m

단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δmax을(를) 구하시오.

P = 6 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 5 md = 80 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 5 md = 80 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm
σcr = MPa

3용액

1.보의 지점 반력

답: RA = 40.63 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

P1​ = 15 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​1 m3 m4 m

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·8 = 15·1 + 55·4
RB = 235/8 = 29.38 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 29.38 = 40.63 kN

답

RA = 40.63 kN
2.보의 지점 반력

답: α = 55.69 °

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

P의 성분

Pv = 55·sin 30° = 27.5 kN
Ph = 55·cos 30° = 47.63 kN

반력

ΣMA = 0: RB·6 = 27.5·3.5 + 70·1 → RB = 27.71 kN
Ay = 27.5 + 70 − 27.71 = 69.79 kN
Ax = Ph = 47.63 kN

A에서의 방향

α = atan(Ay/Ax) = atan(69.79/47.63) = 55.69°

답

α = 55.69°
3.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 90.63 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

ΣMA = 0: RB·6 = 40·1.5 + 45·3.5
RB = 217.5/6 = 36.25 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 36.25 = 48.75 kN

각 하중 아래의 모멘트

각 하중의 왼쪽 부분을 남깁니다.

아래 P1: M = RA·1.5 = 48.75·1.5 = 73.13 kN·m
아래 P2: M = RB·2.5 = 36.25·2.5 = 90.63 kN·m

최댓값

Mmax = 90.63 kN·m (아래 P2)

답

Mmax = 90.63 kN·m
4.전단력과 휨 모멘트

답: F (x = 10 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 70 kN, R2 = 100 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = −80, MC = −30, MD = 0, ME = −50, MF = −120 kN·m, MG = 0

답

표시점 F: MF = −120 kN·m
5.트러스: 절점법

답: FBC = −11.22 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·1 → Cy = 4.167 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 4.167 = 20.83 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −4.167/0.3714 = −11.22 kN

답

FBC = −11.22 kN (압축)
6.트러스: 절점법

답: FAC = 2.667 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB25 kN5 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·5 = 25·1 − 5·3 → Cy = 2 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 2 = 23 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −2/0.6 = −3.333 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−3.333)·0.8 = 2.667 kN

답

FAC = 2.667 kN (인장)
7.보의 처짐

답: θA = 0.002298 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

끝 처짐각

θA = wL³/(24EI) = 6·2500³/(24·1.7 × 10¹²) = 0.002298 rad

답

θA = 0.002298 rad

0.1317°입니다.

8.보의 처짐

답: δmax = 8.683 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 6000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm, EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

각 하중을 따로

δP = PL³/(48EI) = 6000·2000³/(48·5.95 × 10¹¹) = 1.681 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 7.003 mm

더하기

δmax = 1.681 + 7.003 = 8.683 mm

답

δmax = 8.683 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 55.56 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·5000 = 5000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/5000² = 55563 N = 55.56 kN

답

Pcr = 55.56 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 11.05 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/20 = 250

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11.05 MPa

답

σcr = 11.05 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis