구조역학: 벼락치기 팩

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
P1​ = 50 kNP2​ = 60 kNABRA​ = ?RB​1 m2 m1 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 RA을(를) 구하시오.

L = 4 mP1 = 50 kN 위치 1 mP2 = 60 kN 위치 3 m
RA = kN
2.보의 지점 반력어려움
w = 4 kN/mP = 35 kNABCRB​ = ?0.5 m1 m1 m1.5 m

보는 A에 힌지, A에서 2.5 m 떨어진 B에 롤러가 있고, B에서 자유단 C까지 내밀어져 있다. A에서 0.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가, 1.5 m에서 4 m의 자유단까지 등분포 하중 w가 작용한다. 위쪽을 양으로 하여 연직 반력 RB을(를) 구하시오.

AB = 2.5 mAC = 4 mP = 35 kN 위치 0.5 mw = 4 kN/m, 1.5부터 4 m까지
RB = kN
3.전단력과 휨 모멘트보통
w = 6 kN/mAB단면6.5 m3.5 m

지점 A에서 x = 6.5 m인 단면의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mw = 6 kN/m, 0부터 10 m까지x = 6.5 m
Vx = kN
4.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 3 kN/mP = 25 kNAB단면1 m1.5 m1.5 m

지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 4 mP = 25 kN 위치 1 mw = 3 kN/m, 0부터 4 m까지x = 2.5 m
Mx = kN·m
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB10 kN6 m5 m2 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 2 mB는 A에서 5 m연직 하중 = 10 kN
FBC = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB15 kN20 kN6 m2 m4 m

절점법으로 부재 AC의 부재력 FAC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 4 mB는 A에서 2 m연직 하중 = 15 kN수평 하중 = 20 kN →
FAC = kN
7.보의 처짐보통
P = 13 kNABδ2.5 m2.5 m

길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 2.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 자유단 B의 처짐 δB을(를) 구하시오.

P = 13 kNa = 2.5 mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.보의 처짐어려움
P = 6 kNABδ3 m2 m

단순보의 지점 B에서 b = 2 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 경간 중앙의 처짐 δmid을(를) 구하시오.

P = 6 kNb = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 5 md = 40 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 15 kNL = 1 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 15 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 15 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm

3용액

1.보의 지점 반력

답: RA = 52.5 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

P1​ = 50 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​1 m2 m1 m

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·4 = 50·1 + 60·3
RB = 230/4 = 57.5 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 57.5 = 52.5 kN

답

RA = 52.5 kN
2.보의 지점 반력

답: RB = 18 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

분포 하중의 합력

W = 4·2.5 = 10 kN, x̄ = (1.5 + 4)/2 = 2.75 m

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·2.5 = 35·0.5 + 10·2.75
RB = 45/2.5 = 18 kN
RA = 45 − 18 = 27 kN

답

RB = 18 kN
3.전단력과 휨 모멘트

답: Vx = −9 kN

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 6·10·5
RB = 300/10 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 30RB​ = 30단면6.5 m3.5 m

x = 6.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

V = RA − (절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중)
Vx = 30 − 6·6.5 = −9 kN

답

Vx = −9 kN
4.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 15 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·1 + 3·4·2
RB = 49/4 = 12.25 kN
ΣFy = 0: RA = 37 − 12.25 = 24.75 kN
w = 3 kN/mP = 25 kNABRA​ = 24.75RB​ = 12.25단면1 m1.5 m1.5 m

x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 24.75·2.5 − 25·(2.5 − 1) − 3·2.5·1.25 = 15 kN·m

답

Mx = 15 kN·m
5.트러스: 절점법

답: FBC = −9.317 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 10·5 → Cy = 8.333 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 8.333 = 1.667 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8.333/0.8944 = −9.317 kN

답

FBC = −9.317 kN (압축)
6.트러스: 절점법

답: FAC = 18.33 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB15 kN20 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·2 + 20·4 → Cy = 18.33 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 18.33 = −3.333 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18.33/0.7071 = −25.93 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−25.93)·0.7071 = 18.33 kN

답

FAC = 18.33 kN (인장)
7.보의 처짐

답: δB = 5.29 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 13000 N, a = 2500 mm, L = 5000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

자유단의 처짐

하중 위치의 처짐 더하기 하중 위치의 처짐각 × 나머지 길이.

δP = Pa³/(3EI) = 2.116 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.00127 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 5.29 mm

답

δB = 5.29 mm
8.보의 처짐

답: δmid = 8.381 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 6000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

경간 중앙의 처짐

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 6000·2000·(3·5000² − 4·2000²)/(48·1.76 × 10¹²) = 8.381 mm

답

δmid = 8.381 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 9.922 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·5000 = 5000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9.922 kN

답

Pcr = 9.922 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 30.67 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·15000 = 30000 N
KL = 1·1000 = 1000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 30.67 mm

답

d = 30.67 mm

확인: 세장비 KL/r는 130.4이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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