구조역학: 벼락치기 팩

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
P1​ = 55 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​ = ?1 m3 m2 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 6 mP1 = 55 kN 위치 1 mP2 = 30 kN 위치 4 m
RB = kN
2.보의 지점 반력어려움
P = 75 kN, 45°Q = 65 kNABRA​ = ?1 m1.5 m2.5 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 1 m 떨어진 곳에 수평과 45°를 이루는 하중 P가, A에서 2.5 m 떨어진 곳에 연직 하중 Q가 작용한다. 힌지 A의 전체 반력 크기 RA을(를) 구하시오.

L = 5 mP = 75 kN 위치 1 m, θ = 45°Q = 65 kN 위치 2.5 m
RA = kN
3.전단력과 휨 모멘트보통
w = 5 kN/mAB단면1.5 m4.5 m

지점 A에서 x = 1.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mw = 5 kN/m, 0부터 6 m까지x = 1.5 m
Mx = kN·m
4.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 6 kN/mP = 40 kNAB2 m6 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 8 mP = 40 kN 위치 2 mw = 6 kN/m, 0부터 8 m까지
Mmax = kN·m
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB60 kN6 m1 m4 m

절점법으로 부재 AC의 부재력 FAC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 4 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 60 kN
FAC = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB60 kN10 kN5 m3 m3 m

절점법으로 부재 AB의 부재력 FAB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 5 m높이 = 3 mB는 A에서 3 m연직 하중 = 60 kN수평 하중 = 10 kN →
FAB = kN
7.보의 처짐보통
P = 21 kNABδ2 m6 m

단순보의 지점 A에서 a = 2 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.

P = 21 kNa = 2 mL = 8 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.보의 처짐어려움
P = 5 kNABδ4 m2 m

단순보의 지점 B에서 b = 2 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 보의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

P = 5 kNb = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 1 m20 × 80 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 5 kNL = 3 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 5 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 5 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.보의 지점 반력

답: RB = 29.17 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

P1​ = 55 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​1 m3 m2 m

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·6 = 55·1 + 30·4
RB = 175/6 = 29.17 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 29.17 = 55.83 kN

답

RB = 29.17 kN
2.보의 지점 반력

답: RA = 91.8 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

P의 성분

Pv = 75·sin 45° = 53.03 kN
Ph = 75·cos 45° = 53.03 kN

반력

ΣMA = 0: RB·5 = 53.03·1 + 65·2.5 → RB = 43.11 kN
Ay = 53.03 + 65 − 43.11 = 74.93 kN
Ax = Ph = 53.03 kN

A의 합력

RA = √(53.03² + 74.93²) = 91.8 kN

답

RA = 91.8 kN
3.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 16.88 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15단면1.5 m4.5 m

x = 1.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 15·1.5 − 5·1.5·0.75 = 16.88 kN·m

답

Mx = 16.88 kN·m
4.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 96.33 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 40·2 + 6·8·4
RB = 272/8 = 34 kN
ΣFy = 0: RA = 88 − 34 = 54 kN

V = 0인 곳은?

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (54 − 40)/6 = 2.333 m

최대 모멘트

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 2) − w·x0²/2 = 96.33 kN·m

답

Mmax = 96.33 kN·m

A에서 x = 2.333 m인 곳에서 생깁니다.

5.트러스: 절점법

답: FAC = 12.5 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 60·1 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 10 = 50 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 4/6.403 = 0.6247, cos γ = 5/6.403 = 0.7809
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0.6247 = −16.01 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−16.01)·0.7809 = 12.5 kN

답

FAC = 12.5 kN (인장)
6.트러스: 절점법

답: FAB = −25.46 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB60 kN10 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·3 + 10·3 → Cy = 42 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 42 = 18 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −18/0.7071 = −25.46 kN

답

FAB = −25.46 kN (압축)
7.보의 처짐

답: δP = 50 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 21000 N, a = 2000 mm, b = 6000 mm, L = 8000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

하중 아래의 처짐

δP = Pa²b²/(3EIL) = 21000·2000²·6000²/(3·2.52 × 10¹²·8000) = 50 mm

답

δP = 50 mm
8.보의 처짐

답: δmax = 23.04 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 5000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

최댓값의 위치

더 긴 구간에서 처짐각을 0으로 두면 위치가 나옵니다.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2000²)/3) = 3266 mm

최대 처짐

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 23.04 mm

답

δmax = 23.04 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 75.2 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·1000 = 700 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/700² = 75197 N = 75.2 kN

답

Pcr = 75.2 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 43.9 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·5000 = 10000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 43.9 mm

답

d = 43.9 mm

확인: 세장비 KL/r는 546.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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