구조역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
P = 10 kNM = 25 kN·mABRA​ = ?1 m2 m1 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 1 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가, A에서 3 m 떨어진 곳에 반시계 방향 우력 M이 작용한다. 위쪽을 양으로 하여 연직 반력 RA을(를) 구하시오.

L = 4 mP = 10 kN 위치 1 mM = 25 kN·m (반시계 방향) 위치 3 m
RA = kN
2.보의 지점 반력어려움
w = 4 kN/mP = 10 kNABCRB​ = ?2 m1 m2 m

보는 A에 힌지, A에서 3 m 떨어진 B에 롤러가 있고, B에서 자유단 C까지 내밀어져 있다. A에서 2 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가, 2 m에서 5 m의 자유단까지 등분포 하중 w가 작용한다. 위쪽을 양으로 하여 연직 반력 RB을(를) 구하시오.

AB = 3 mAC = 5 mP = 10 kN 위치 2 mw = 4 kN/m, 2부터 5 m까지
RB = kN
3.전단력과 휨 모멘트보통
w = 4 kN/mAB단면5.5 m4.5 m

지점 A에서 x = 5.5 m인 단면의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mw = 4 kN/m, 0부터 10 m까지x = 5.5 m
Vx = kN
4.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 8 kN/mAB5 m1 m

단순보의 경간 일부에 등분포 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 6 mw = 8 kN/m, 0부터 5 m까지
Mmax = kN·m
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB35 kN6 m2 m3 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 3 mB는 A에서 2 m연직 하중 = 35 kN
FBC = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB60 kN25 kN6 m1 m2 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 2 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 60 kN수평 하중 = 25 kN ←
FBC = kN
7.보의 처짐보통
P = 26 kNABδ0.5 m2 m

길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 0.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.

P = 26 kNa = 0.5 mL = 2.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.보의 처짐어려움
w = 20 kN/mδL = 8 m

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.

w = 20 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (강철)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.기둥의 좌굴보통
PL = 3 m30 × 40 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 25 kNL = 2 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 25 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 25 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm

3용액

1.보의 지점 반력

답: RA = 13.75 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

A에 대한 모멘트

반시계 방향을 양으로.

ΣMA = 0: RB·4 − 10·1 + 25 = 0
RB = −15/4 = −3.75 kN

연직 방향 평형

RA = 10 − (−3.75) = 13.75 kN

답

RA = 13.75 kN

음의 반력은 아래로 작용합니다.

2.보의 지점 반력

답: RB = 20.67 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

분포 하중의 합력

W = 4·3 = 12 kN, x̄ = (2 + 5)/2 = 3.5 m

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·3 = 10·2 + 12·3.5
RB = 62/3 = 20.67 kN
RA = 22 − 20.67 = 1.333 kN

답

RB = 20.67 kN
3.전단력과 휨 모멘트

답: Vx = −2 kN

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 4·10·5
RB = 200/10 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20단면5.5 m4.5 m

x = 5.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

V = RA − (절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중)
Vx = 20 − 4·5.5 = −2 kN

답

Vx = −2 kN
4.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 34.03 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·5·2.5
RB = 100/6 = 16.67 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 16.67 = 23.33 kN

전단력 0

전단력은 RA에서 시작해 하중이 없는 구간에서는 일정하고, 하중 구간 안에서는 기울기 w로 감소합니다.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 23.33/8 = 2.917 m

최대 모멘트

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 23.33·2.917 − 8·2.917²/2 = 34.03 kN·m

답

Mmax = 34.03 kN·m
5.트러스: 절점법

답: FBC = −19.44 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 35·2 → Cy = 11.67 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 11.67 = 23.33 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11.67/0.6 = −19.44 kN

답

FBC = −19.44 kN (압축)
6.트러스: 절점법

답: FBC = −4.488 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB60 kN25 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 60·1 − 25·2 → Cy = 1.667 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 1.667 = 58.33 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −1.667/0.3714 = −4.488 kN

답

FBC = −4.488 kN (압축)
7.보의 처짐

답: δP = 8.207 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 26000 N, a = 500 mm, L = 2500 mm
EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²

하중 아래의 처짐

δP = Pa³/(3EI) = 26000·500³/(3·1.32 × 10¹¹) = 8.207 mm

답

δP = 8.207 mm
8.보의 처짐

답: Ireq = 240 × 10⁶ mm⁴

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

처짐 한계

δallow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·8000⁴/(384·200000·22.22) = 2.4 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 240 × 10⁶ mm⁴

답

Ireq = 240 × 10⁶ mm⁴
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 6.909 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·3000 = 3000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/3000² = 6909 N = 6.909 kN

답

Pcr = 6.909 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 69.69 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·25000 = 50000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 69.69 mm

답

d = 69.69 mm

확인: 세장비 KL/r는 229.6이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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