보의 지점 반력
- 평형
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 등분포 하중
- 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
- 모멘트
- M = F·d
방법
- 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
- 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
- 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
- ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.
구조역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
트러스: 절점법
- 절점법
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 단면법
- ΣM = 0 about a cut point
- 부재력
- 양수 = 인장, 음수 = 압축
방법
- 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
- 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
- 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
- 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.보의 지점 반력보통
보는 A에 힌지, A에서 3.5 m 떨어진 B에 롤러가 있고, B에서 자유단 C까지 내밀어져 있다. 위쪽을 양으로 하여 연직 반력 RA을(를) 구하시오.
AB = 3.5 mAC = 5 mP1 = 55 kN 위치 2 mP2 = 20 kN 위치 5 m
RA = kN
2.보의 지점 반력어려움
단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 2.5 m 떨어진 곳에 수평과 60°를 이루는 하중 P가, A에서 0.5 m 떨어진 곳에 연직 하중 Q가 작용한다. 힌지 A의 전체 반력이 수평과 이루는 각 α을(를) 구하시오.
L = 5 mP = 75 kN 위치 2.5 m, θ = 60°Q = 60 kN 위치 0.5 m
α = °
3.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 3 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 10 mw = 2 kN/m, 0부터 10 m까지x = 3 m
Mx = kN·m
4.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 1.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 4 mP = 45 kN 위치 2.5 mw = 3 kN/m, 0부터 4 m까지x = 1.5 m
Mx = kN·m
5.트러스: 절점법보통
이 트러스의 부재 하나는 이 하중에서 힘을 받지 않습니다. 영력 부재는 어느 것입니까? 그림에서 클릭하세요.
B: 35 kN ↓F: 15 kN ↓G: 15 kN ↓
- 1부재 AB
- 2부재 BC
- 3부재 CD
- 4부재 DE
- 5부재 FG
- 6부재 GH
- 7부재 AF
- 8부재 HE
- 9부재 BF
- 10부재 CG
- 11부재 DH
- 12부재 FC
- 13부재 HC
6.트러스: 절점법어려움
이 트러스의 부재 하나는 이 하중에서 힘을 받지 않습니다. 영력 부재는 어느 것입니까? 그림에서 클릭하세요.
B: 40 kN ↓F: 20 kN ↓G: 15 kN ↓H: 25 kN ←
- 1부재 AB
- 2부재 BC
- 3부재 CD
- 4부재 DE
- 5부재 FG
- 6부재 GH
- 7부재 AF
- 8부재 HE
- 9부재 BF
- 10부재 CG
- 11부재 DH
- 12부재 BG
- 13부재 DG
7.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 12 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm
σcr = MPa
3용액
1.보의 지점 반력
답: RA = 15 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
A에 대한 모멘트
반시계 방향을 양으로.
ΣMA = 0: RB·3.5 = 55·2 + 20·5
RB = 210/3.5 = 60 kN
연직 방향 평형
RA = 55 + 20 − 60 = 15 kN
답
RA = 15 kN
2.보의 지점 반력
답: α = 66.56 °
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
P의 성분
Pv = 75·sin 60° = 64.95 kN
Ph = 75·cos 60° = 37.5 kN
반력
ΣMA = 0: RB·5 = 64.95·2.5 + 60·0.5 → RB = 38.48 kN
Ay = 64.95 + 60 − 38.48 = 86.48 kN
Ax = Ph = 37.5 kN
A에서의 방향
α = atan(Ay/Ax) = atan(86.48/37.5) = 66.56°
답
α = 66.56°
3.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 21 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 2·10·5
RB = 100/10 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
x = 3 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 10·3 − 2·3·1.5 = 21 kN·m
답
Mx = 21 kN·m
4.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 30.94 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·2.5 + 3·4·2
RB = 136.5/4 = 34.13 kN
ΣFy = 0: RA = 57 − 34.13 = 22.88 kN
x = 1.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 22.88·1.5 − 3·1.5·0.75 = 30.94 kN·m
답
Mx = 30.94 kN·m
5.트러스: 절점법
답: 부재 DH
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 D
CD과 DE은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 DH만 남습니다.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
절점법으로 확인하기
모든 절점을 풀면 다음 부재력이 나옵니다(T = 인장, C = 압축).
AB: 45 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 20 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 40 kN (C), AF: 63.64 kN (C), HE: 28.28 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 7.071 kN (C), HC: 28.28 kN (T)
답
영력 부재: DH
6.트러스: 절점법
답: 부재 CG
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 C
BC과 CD은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
절점법으로 확인하기
모든 절점을 풀면 다음 부재력이 나옵니다(T = 인장, C = 압축).
AB: 51.25 kN (T), BC: 47.5 kN (T), CD: 47.5 kN (T), DE: 23.75 kN (T), FG: 76.25 kN (C), GH: 48.75 kN (C), AF: 95.31 kN (C), HE: 29.69 kN (C), BF: 37.19 kN (T), CG: 0, DH: 17.81 kN (T), BG: 4.688 kN (T), DG: 29.69 kN (C)
답
영력 부재: CG
7.보의 처짐
답: δmax = 9.248 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 2 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
처짐
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 9.248 mm
답
δmax = 9.248 mm
8.보의 처짐
답: Ireq = 2.712 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·1500⁴/(384·70000·4.167) = 2.712 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 2.712 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 2.712 × 10⁶ mm⁴
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 96.89 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·2500 = 2500 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96.89 kN
답
Pcr = 96.89 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 49.35 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/7.5 = 200
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa
답
σcr = 49.35 MPa
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