구조역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
P1​ = 40 kNP2​ = 25 kNABRA​ = ?RB​1.5 m2.5 m1 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 RA을(를) 구하시오.

L = 5 mP1 = 40 kN 위치 1.5 mP2 = 25 kN 위치 4 m
RA = kN
2.보의 지점 반력어려움
P = 70 kNADCMA​ = ?3 m1 m4 m

겔버보는 A에서 벽에 고정되어 있고, C(A에서 3 m)에 내부 힌지가 있으며, D(A에서 8 m)의 롤러 위에 놓여 있다. 하중은 A에서 4 m 떨어진 곳의 집중 하중 P이다. 벽의 반력 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.

AC = 3 mAD = 8 mP = 70 kN 위치 4 m
MA = kN·m
3.전단력과 휨 모멘트보통
w = 12 kN/mP = 60 kNAB5 m

캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 휨 모멘트 MA을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mP = 60 kN 위치 5 mw = 12 kN/m, 0부터 5 m까지
MA = kN·m
4.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 4 kN/mP = 60 kNAB단면2.5 m1.5 m6 m

지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mP = 60 kN 위치 4 mw = 4 kN/m, 0부터 10 m까지x = 2.5 m
Mx = kN·m
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB15 kN8 m2 m4 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 4 mB는 A에서 2 m연직 하중 = 15 kN
FBC = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB10 kN20 kN5 m1 m4 m

절점법으로 부재 AB의 부재력 FAB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 5 m높이 = 4 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 10 kN수평 하중 = 20 kN ←
FAB = kN
7.보의 처짐보통
w = 15 kN/mABθ5 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θA을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 57 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.보의 처짐어려움
w = 8 kN/mAB4 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 고정단의 휨 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.

L = 4 mw = 8 kN/m
MA = kN·m
9.기둥의 좌굴보통
PL = 6 md = 25 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 25 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 45 kNL = 3 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 45 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 45 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm

3용액

1.보의 지점 반력

답: RA = 33 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

P1​ = 40 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​1.5 m2.5 m1 m

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·5 = 40·1.5 + 25·4
RB = 160/5 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 32 = 33 kN

답

RA = 33 kN
2.보의 지점 반력

답: MA = 168 kN·m

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요. 내부 힌지는 휨 모멘트를 전달할 수 없으므로 방정식이 하나 더 생깁니다. 어느 한쪽의 힘들의 힌지에 대한 모멘트는 0입니다.

CD 부분

힌지에는 모멘트가 없으므로 CD만의 C에 대한 모멘트가 평형을 이루어야 합니다.

ΣMC = 0: RD·5 = 70·1
RD = 14 kN
VC = 70 − 14 = 56 kN

AC 부분

힌지력 VC는 AC에 아래로 작용합니다(CD에 대한 작용과 크기가 같고 방향이 반대).

RA = 56 = 56 kN
MA = 56·3 = 168 kN·m

답

MA = 168 kN·m
3.전단력과 휨 모멘트

답: MA = −450 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

자유단 쪽 부분을 남긴다

P: −60·5 = −300 kN·m
w: −12·5²/2 = −150 kN·m
MA = −300 − 150 = −450 kN·m

답

MA = −450 kN·m

음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.

4.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 127.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·4 + 4·10·5
RB = 440/10 = 44 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 44 = 56 kN
w = 4 kN/mP = 60 kNABRA​ = 56RB​ = 44단면2.5 m1.5 m6 m

x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 56·2.5 − 4·2.5·1.25 = 127.5 kN·m

답

Mx = 127.5 kN·m
5.트러스: 절점법

답: FBC = −6.76 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·2 → Cy = 3.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 3.75 = 11.25 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 4/7.211 = 0.5547, cos γ = 6/7.211 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3.75/0.5547 = −6.76 kN

답

FBC = −6.76 kN (압축)
6.트러스: 절점법

답: FAB = −24.74 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB10 kN20 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·5 = 10·1 − 20·4 → Cy = −14 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −14 = 24 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −24/0.9701 = −24.74 kN

답

FAB = −24.74 kN (압축)
7.보의 처짐

답: θA = 0.006853 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

끝 처짐각

θA = wL³/(24EI) = 15·5000³/(24·1.14 × 10¹³) = 0.006853 rad

답

θA = 0.006853 rad

0.3927°입니다.

8.보의 처짐

답: MA = 16 kN·m

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·8·4/8 = 12 kN

고정단의 모멘트

하중과 받침력의 A에 대한 모멘트.

MA = wL²/2 − RB·L = 64 − 48 = 16 kN·m

답

MA = 16 kN·m
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 2.146 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4200² = 2146 N = 2.146 kN

답

Pcr = 2.146 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 54.71 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 54.71 mm

답

d = 54.71 mm

확인: 세장비 KL/r는 109.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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