구조역학: 벼락치기 팩

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
w0​ = 12 kN/mABRA​ = ?10 m

단순보(A에 힌지, B에 롤러)에 A의 12 kN/m에서 B의 0까지 선형으로 감소하는 분포 하중이 작용한다. 연직 지점 반력 RA을(를) 구하시오.

L = 10 mw0 = 12 kN/m
RA = kN
2.보의 지점 반력어려움
P = 45 kN, 45°Q = 50 kNABRA​ = ?1.5 m3 m1.5 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 4.5 m 떨어진 곳에 수평과 45°를 이루는 하중 P가, A에서 1.5 m 떨어진 곳에 연직 하중 Q가 작용한다. 힌지 A의 전체 반력 크기 RA을(를) 구하시오.

L = 6 mP = 45 kN 위치 4.5 m, θ = 45°Q = 50 kN 위치 1.5 m
RA = kN
3.전단력과 휨 모멘트보통
w = 2 kN/mAB단면1.5 m6.5 m

지점 A에서 x = 1.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mw = 2 kN/m, 0부터 8 m까지x = 1.5 m
Mx = kN·m
4.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 4 kN/mP = 35 kNAB단면8 m2 m

지점 A에서 x = 8 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mP = 35 kN 위치 8 mw = 4 kN/m, 0부터 10 m까지x = 8 m
Mx = kN·m
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB55 kN4 m1 m2 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 4 m높이 = 2 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 55 kN
FBC = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB20 kN15 kN5 m2 m3 m

절점법으로 부재 AC의 부재력 FAC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 5 m높이 = 3 mB는 A에서 2 m연직 하중 = 20 kN수평 하중 = 15 kN ←
FAC = kN
7.보의 처짐보통
w = 5 kN/mABθ5 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θA을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 57 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.보의 처짐어려움
w = 10 kN/mδL = 2.5 m

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.

w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.기둥의 좌굴보통
PL = 1 m30 × 60 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 4 md = 30 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm
σcr = MPa

3용액

1.보의 지점 반력

답: RA = 40 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

삼각형 하중의 합력

W = ½·12·10 = 60 kN
x̄ = L/3 = 3.333 m

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·10 = 60·3.333
RB = 20 kN
RA = 60 − 20 = 40 kN

답

RA = 40 kN
2.보의 지점 반력

답: RA = 55.49 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

P의 성분

Pv = 45·sin 45° = 31.82 kN
Ph = 45·cos 45° = 31.82 kN

반력

ΣMA = 0: RB·6 = 31.82·4.5 + 50·1.5 → RB = 36.36 kN
Ay = 31.82 + 50 − 36.36 = 45.45 kN
Ax = Ph = 31.82 kN

A의 합력

RA = √(31.82² + 45.45²) = 55.49 kN

답

RA = 55.49 kN
3.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 9.75 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 2·8·4
RB = 64/8 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 8RB​ = 8단면1.5 m6.5 m

x = 1.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 8·1.5 − 2·1.5·0.75 = 9.75 kN·m

답

Mx = 9.75 kN·m
4.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 88 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 35·8 + 4·10·5
RB = 480/10 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 48 = 27 kN
w = 4 kN/mP = 35 kNABRA​ = 27RB​ = 48단면8 m2 m

x = 8 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 27·8 − 4·8·4 = 88 kN·m

답

Mx = 88 kN·m
5.트러스: 절점법

답: FBC = −24.79 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·4 = 55·1 → Cy = 13.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 13.75 = 41.25 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −13.75/0.5547 = −24.79 kN

답

FBC = −24.79 kN (압축)
6.트러스: 절점법

답: FAC = −1 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB20 kN15 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·5 = 20·2 − 15·3 → Cy = −1 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − −1 = 21 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−1/0.7071 = 1.414 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(1.414)·0.7071 = −1 kN

답

FAC = −1 kN (압축)
7.보의 처짐

답: θA = 0.006527 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

끝 처짐각

θA = wL³/(24EI) = 5·5000³/(24·3.99 × 10¹²) = 0.006527 rad

답

θA = 0.006527 rad

0.374°입니다.

8.보의 처짐

답: Ireq = 10.46 × 10⁶ mm⁴

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

처짐 한계

δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·2500⁴/(384·70000·6.944) = 1.046 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 10.46 × 10⁶ mm⁴

답

Ireq = 10.46 × 10⁶ mm⁴
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 266.5 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1000 = 1000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1000² = 266479 N = 266.5 kN

답

Pcr = 266.5 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 14.16 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/7.5 = 373.3

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/373.3² = 14.16 MPa

답

σcr = 14.16 MPa

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