구조역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
w0​ = 6 kN/mABRB​ = ?10 m

단순보(A에 힌지, B에 롤러)에 A의 0에서 B의 6 kN/m까지 선형으로 증가하는 분포 하중이 작용한다. 연직 지점 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 10 mw0 = 6 kN/m
RB = kN
2.보의 지점 반력어려움
P = 60 kNQ = 70 kNADCMA​ = ?1.5 m1.5 m1 m2 m

겔버보는 A에서 벽에 고정되어 있고, C(A에서 3 m)에 내부 힌지가 있으며, D(A에서 6 m)의 롤러 위에 놓여 있다. 하중은 A에서 4 m 떨어진 곳의 집중 하중 P 그리고 A에서 1.5 m 떨어진 곳의 집중 하중 Q이다. 벽의 반력 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.

AC = 3 mAD = 6 mP = 60 kN 위치 4 mQ = 70 kN 위치 1.5 m
MA = kN·m
3.전단력과 휨 모멘트보통
12 kN/m10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

10 kN @ 2 m12 kN/m, 2–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 10 kN/mP = 15 kNAB단면2.5 m1.5 m4 m

지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mP = 15 kN 위치 4 mw = 10 kN/m, 0부터 8 m까지x = 2.5 m
Mx = kN·m
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB60 kN6 m5 m2 m

절점법으로 부재 AB의 부재력 FAB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 2 mB는 A에서 5 m연직 하중 = 60 kN
FAB = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB55 kN25 kN8 m3 m2 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 2 mB는 A에서 3 m연직 하중 = 55 kN수평 하중 = 25 kN ←
FBC = kN
7.보의 처짐보통
P = 6 kNABδ1.5 m1.5 m

길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 1.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 자유단 B의 처짐 δB을(를) 구하시오.

P = 6 kNa = 1.5 mL = 3 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.보의 처짐어려움
w = 2 kN/mP = 14 kNδL = 4 m

단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δmax을(를) 구하시오.

P = 14 kNw = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 1 md = 40 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 25 kNL = 2.5 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 25 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 25 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm

3용액

1.보의 지점 반력

답: RB = 20 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

삼각형 하중의 합력

W = ½·6·10 = 30 kN
x̄ = 2L/3 = 6.667 m

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·10 = 30·6.667
RB = 20 kN
RA = 30 − 20 = 10 kN

답

RB = 20 kN
2.보의 지점 반력

답: MA = 225 kN·m

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요. 내부 힌지는 휨 모멘트를 전달할 수 없으므로 방정식이 하나 더 생깁니다. 어느 한쪽의 힘들의 힌지에 대한 모멘트는 0입니다.

CD 부분

힌지에는 모멘트가 없으므로 CD만의 C에 대한 모멘트가 평형을 이루어야 합니다.

ΣMC = 0: RD·3 = 60·1
RD = 20 kN
VC = 60 − 20 = 40 kN

AC 부분

힌지력 VC는 AC에 아래로 작용합니다(CD에 대한 작용과 크기가 같고 방향이 반대).

RA = 70 + 40 = 110 kN
MA = 70·1.5 + 40·3 = 225 kN·m

답

MA = 225 kN·m
3.전단력과 휨 모멘트

답: D (x = 6 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 58.33 kN, R2 = 71.67 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 116.7, MC = 189.3, MD = 214 kN·m, ME = 190.7, MF = 119.3, MG = 0

답

표시점 D: MD = 214 kN·m
4.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 87.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 15·4 + 10·8·4
RB = 380/8 = 47.5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 47.5 = 47.5 kN
w = 10 kN/mP = 15 kNABRA​ = 47.5RB​ = 47.5단면2.5 m1.5 m4 m

x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 47.5·2.5 − 10·2.5·1.25 = 87.5 kN·m

답

Mx = 87.5 kN·m
5.트러스: 절점법

답: FAB = −26.93 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 60·5 → Cy = 50 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 50 = 10 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 2/5.385 = 0.3714
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10/0.3714 = −26.93 kN

답

FAB = −26.93 kN (압축)
6.트러스: 절점법

답: FBC = −38.71 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB55 kN25 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·8 = 55·3 − 25·2 → Cy = 14.38 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 14.38 = 40.63 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −14.38/0.3714 = −38.71 kN

답

FBC = −38.71 kN (압축)
7.보의 처짐

답: δB = 12.78 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 6000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

자유단의 처짐

하중 위치의 처짐 더하기 하중 위치의 처짐각 × 나머지 길이.

δP = Pa³/(3EI) = 5.114 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.005114 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 12.78 mm

답

δB = 12.78 mm
8.보의 처짐

답: δmax = 4.308 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 14000 N, w = 2 N/mm, L = 4000 mm, EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

각 하중을 따로

δP = PL³/(48EI) = 14000·4000³/(48·5.88 × 10¹²) = 3.175 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 1.134 mm

더하기

δmax = 3.175 + 1.134 = 4.308 mm

답

δmax = 4.308 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 86.82 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1000 = 1000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1000² = 86818 N = 86.82 kN

답

Pcr = 86.82 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 43.12 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 3·25000 = 75000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 43.12 mm

답

d = 43.12 mm

확인: 세장비 KL/r는 116이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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