보의 지점 반력
- 평형
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 등분포 하중
- 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
- 모멘트
- M = F·d
방법
- 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
- 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
- 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
- ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.
구조역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
트러스: 절점법
- 절점법
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 단면법
- ΣM = 0 about a cut point
- 부재력
- 양수 = 인장, 음수 = 압축
방법
- 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
- 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
- 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
- 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.보의 지점 반력보통
단순보(A에 힌지, B에 롤러)에 A의 10 kN/m에서 B의 0까지 선형으로 감소하는 분포 하중이 작용한다. 연직 지점 반력 RB을(를) 구하시오.
L = 6 mw0 = 10 kN/m
RB = kN
2.보의 지점 반력어려움
단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 1.5 m 떨어진 곳에 수평과 50°를 이루는 하중 P가, A에서 3.5 m 떨어진 곳에 연직 하중 Q가 작용한다. 힌지 A의 전체 반력 크기 RA을(를) 구하시오.
L = 4 mP = 80 kN 위치 1.5 m, θ = 50°Q = 75 kN 위치 3.5 m
RA = kN
3.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 0.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 10 mw = 3 kN/m, 0부터 10 m까지x = 0.5 m
Mx = kN·m
4.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 2 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 10 mP = 35 kN 위치 2 mw = 10 kN/m, 0부터 10 m까지x = 2 m
Mx = kN·m
5.트러스: 절점법보통
절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.
경간 = 4 m높이 = 3 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 35 kN
FBC = kN
6.트러스: 절점법어려움
절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.
경간 = 6 m높이 = 2 mB는 A에서 5 m연직 하중 = 10 kN수평 하중 = 10 kN ←
FBC = kN
7.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
w = 12 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.보의 처짐어려움
일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.
L = 5 mw = 8 kN/m
RB = kN
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm
σcr = MPa
3용액
1.보의 지점 반력
답: RB = 10 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
삼각형 하중의 합력
W = ½·10·6 = 30 kN
x̄ = L/3 = 2 m
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·6 = 30·2
RB = 10 kN
RA = 30 − 10 = 20 kN
답
RB = 10 kN
2.보의 지점 반력
답: RA = 70.12 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
P의 성분
Pv = 80·sin 50° = 61.28 kN
Ph = 80·cos 50° = 51.42 kN
반력
ΣMA = 0: RB·4 = 61.28·1.5 + 75·3.5 → RB = 88.61 kN
Ay = 61.28 + 75 − 88.61 = 47.68 kN
Ax = Ph = 51.42 kN
A의 합력
RA = √(51.42² + 47.68²) = 70.12 kN
답
RA = 70.12 kN
3.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 7.125 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 3·10·5
RB = 150/10 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
x = 0.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 15·0.5 − 3·0.5·0.25 = 7.125 kN·m
답
Mx = 7.125 kN·m
4.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 136 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 35·2 + 10·10·5
RB = 570/10 = 57 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 57 = 78 kN
x = 2 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 78·2 − 10·2·1 = 136 kN·m
답
Mx = 136 kN·m
5.트러스: 절점법
답: FBC = −12.37 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·4 = 35·1 → Cy = 8.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 8.75 = 26.25 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8.75/0.7071 = −12.37 kN
답
FBC = −12.37 kN (압축)
6.트러스: 절점법
답: FBC = −5.59 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·6 = 10·5 − 10·2 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 5 = 5 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0.8944 = −5.59 kN
답
FBC = −5.59 kN (압축)
7.보의 처짐
답: δmax = 5.993 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 12 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²
처짐
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·1500⁴/(384·1.32 × 10¹¹) = 5.993 mm
답
δmax = 5.993 mm
8.보의 처짐
답: RB = 15 kN
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).
받침 제거
받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.
δload = wL⁴/(8EI)
받침에서의 적합 조건
받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·8·5/8 = 15 kN
답
RB = 15 kN
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 2.55 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/4200² = 2550 N = 2.55 kN
답
Pcr = 2.55 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 1.919 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·6000 = 12000 mm
KL/r = 12000/20 = 600
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1.919 MPa
답
σcr = 1.919 MPa
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