구조역학: 벼락치기 팩

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
P1​ = 55 kNP2​ = 20 kNABRA​ = ?RB​1.5 m1 m2.5 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 RA을(를) 구하시오.

L = 5 mP1 = 55 kN 위치 1.5 mP2 = 20 kN 위치 2.5 m
RA = kN
2.보의 지점 반력어려움
P = 25 kNADCRD​ = ?3 m4 m3 m

겔버보는 A에서 벽에 고정되어 있고, C(A에서 3 m)에 내부 힌지가 있으며, D(A에서 10 m)의 롤러 위에 놓여 있다. 하중은 A에서 7 m 떨어진 곳의 집중 하중 P이다. 롤러의 반력 RD을(를) 구하시오.

AC = 3 mAD = 10 mP = 25 kN 위치 7 m
RD = kN
3.전단력과 휨 모멘트보통
w = 12 kN/mAB단면2.5 m5.5 m

지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mw = 12 kN/m, 0부터 8 m까지x = 2.5 m
Mx = kN·m
4.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 4 kN/mAB2 m6 m

단순보의 경간 일부에 등분포 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 8 mw = 4 kN/m, 0부터 2 m까지
Mmax = kN·m
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB45 kN5 m1 m2 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 5 m높이 = 2 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 45 kN
FBC = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB10 kN5 kN6 m1 m3 m

절점법으로 부재 AB의 부재력 FAB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 3 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 10 kN수평 하중 = 5 kN ←
FAB = kN
7.보의 처짐보통
w = 6 kN/mδL = 2 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.보의 처짐어려움
w = 12 kN/mAB4 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 고정단의 휨 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.

L = 4 mw = 12 kN/m
MA = kN·m
9.기둥의 좌굴보통
PL = 5 m20 × 60 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 6 md = 60 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm
σcr = MPa

3용액

1.보의 지점 반력

답: RA = 48.5 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

P1​ = 55 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​1.5 m1 m2.5 m

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·5 = 55·1.5 + 20·2.5
RB = 132.5/5 = 26.5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 26.5 = 48.5 kN

답

RA = 48.5 kN
2.보의 지점 반력

답: RD = 14.29 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요. 내부 힌지는 휨 모멘트를 전달할 수 없으므로 방정식이 하나 더 생깁니다. 어느 한쪽의 힘들의 힌지에 대한 모멘트는 0입니다.

CD 부분

힌지에는 모멘트가 없으므로 CD만의 C에 대한 모멘트가 평형을 이루어야 합니다.

ΣMC = 0: RD·7 = 25·4
RD = 14.29 kN
VC = 25 − 14.29 = 10.71 kN

답

RD = 14.29 kN
3.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 82.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·8·4
RB = 384/8 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 48 = 48 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 48RB​ = 48단면2.5 m5.5 m

x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 48·2.5 − 12·2.5·1.25 = 82.5 kN·m

답

Mx = 82.5 kN·m
4.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 6.125 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, 작용점 x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·2·1
RB = 8/8 = 1 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 1 = 7 kN

전단력 0

전단력은 RA에서 시작해 하중이 없는 구간에서는 일정하고, 하중 구간 안에서는 기울기 w로 감소합니다.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 7/4 = 1.75 m

최대 모멘트

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 7·1.75 − 4·1.75²/2 = 6.125 kN·m

답

Mmax = 6.125 kN·m
5.트러스: 절점법

답: FBC = −20.12 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·1 → Cy = 9 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 9 = 36 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −9/0.4472 = −20.12 kN

답

FBC = −20.12 kN (압축)
6.트러스: 절점법

답: FAB = −11.42 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB10 kN5 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 10·1 − 5·3 → Cy = −0.8333 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −0.8333 = 10.83 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 3/3.162 = 0.9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10.83/0.9487 = −11.42 kN

답

FAB = −11.42 kN (압축)
7.보의 처짐

답: δmax = 4.941 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2000 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

처짐

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2000⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 4.941 mm

답

δmax = 4.941 mm
8.보의 처짐

답: MA = 24 kN·m

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·12·4/8 = 18 kN

고정단의 모멘트

하중과 받침력의 A에 대한 모멘트.

MA = wL²/2 − RB·L = 96 − 72 = 24 kN·m

답

MA = 24 kN·m
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 3.158 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·5000 = 5000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/5000² = 3158 N = 3.158 kN

답

Pcr = 3.158 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 1.079 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·6000 = 12000 mm
KL/r = 12000/15 = 800

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1.079 MPa

답

σcr = 1.079 MPa

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