구조역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트: M = F·d

방법

자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣF_y = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
단면법: ΣM = 0 about a cut point
부재력: 양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 R_B을(를) 구하시오.

L = 5 mP₁ = 30 kN 위치 2 mP₂ = 25 kN 위치 2.5 m

R_B = kN

2.보의 지점 반력어려움

캔틸레버 보는 A에서 벽에 고정되어 있다. 벽에서 10 kN/m이고 자유단 B에서 0으로 감소하는 선형 분포 하중과, 벽에서 4.5 m 떨어진 곳의 집중 하중 P가 작용한다. 벽의 반력 모멘트 크기 M_A을(를) 구하시오.

L = 5 mw₀ = 10 kN/mP = 80 kN 위치 4.5 m

M_A = kN·m

3.전단력과 휨 모멘트보통

지점 A에서 x = 8 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mw = 10 kN/m, 0부터 10 m까지x = 8 m

M_x = kN·m

4.전단력과 휨 모멘트어려움

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 B에서의 휨 모멘트 M_B을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 9 mw = 6 kN/m, 0부터 9 m까지x = 0과 x = 8 m에 지점

M_B = kN·m

5.트러스: 절점법보통

절점법으로 부재 AC의 부재력 F_AC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 4 m높이 = 2 mB는 A에서 3 m연직 하중 = 50 kN

F_AC = kN

6.트러스: 절점법어려움

절점법으로 부재 AB의 부재력 F_AB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 5 m높이 = 3 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 20 kN수평 하중 = 20 kN →

F_AB = kN

7.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.보의 처짐어려움

폭 150 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/300을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 h_req을(를) 구하시오.

w = 2.5 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 150 mm

h_req = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 100 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 100 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

3용액

1.보의 지점 반력

답: R_B = 24.5 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·2 + 25·2.5

R_B = 122.5/5 = 24.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 24.5 = 30.5 kN

답

R_B = 24.5 kN

2.보의 지점 반력

답: M_A = 401.7 kN·m

캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 R_A와 반력 모멘트 M_A를 줍니다. ΣF_y = 0에서 R_A가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 M_A = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.

삼각형 하중의 합력

W = ½·10·5 = 25 kN

x̄ = L/3 = 1.667 m

벽에 대한 모멘트

M_A = W·x̄ + P·a = 25·1.667 + 80·4.5 = 401.7 kN·m

답

M_A = 401.7 kN·m

3.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 80 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, 작용점 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

x = 8 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 50·8 − 10·8·4 = 80 kN·m

답

M_x = 80 kN·m

4.전단력과 휨 모멘트

답: M_B = −3 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·9 = 54 kN, 작용점 x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·9·4.5

R_B = 243/8 = 30.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 54 − 30.38 = 23.63 kN

B에서 자르고 내민 부분을 남긴다

내민 부분의 하중 w·a는 B에서 a/2인 곳에 작용하며, 지점 위에서 보를 위로 볼록하게 휩니다(부모멘트).

M_B = −w·a²/2 = −6·1²/2 = −3 kN·m

답

M_B = −3 kN·m

5.트러스: 절점법

답: F_AC = 18.75 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·3 → C_y = 37.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 37.5 = 12.5 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −37.5/0.8944 = −41.93 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−41.93)·0.4472 = 18.75 kN

답

F_AC = 18.75 kN (인장)

6.트러스: 절점법

답: F_AB = −4.216 kN

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·1 + 20·3 → C_y = 16 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 16 = 4 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 3/3.162 = 0.9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −4/0.9487 = −4.216 kN

답

F_AB = −4.216 kN (압축)

7.보의 처짐

답: δ_max = 32.64 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 9.35 × 10¹⁰ N·mm²

처짐

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·9.35 × 10¹⁰) = 32.64 mm

답

δ_max = 32.64 mm

8.보의 처짐

답: h_req = 186.4 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 2.5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2.5·4500⁴/(384·11000·15) = 8.09 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = I_req → h = (12·8.09 × 10⁷/150)^1/3 = 186.4 mm

답

h_req = 186.4 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 23.5 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/2800² = 23499 N = 23.5 kN

답

P_cr = 23.5 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 67.06 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·100000 = 250000 N

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 67.06 mm

답

d = 67.06 mm

확인: 세장비 KL/r는 167이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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