구조역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
w = 6 kN/mP = 75 kNABRA​ = ?2.5 m1.5 m

캔틸레버 보는 A에서 벽에 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, 벽에서 2.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 벽의 연직 반력 RA을(를) 구하시오.

L = 4 mP = 75 kN 위치 2.5 mw = 6 kN/m, 0부터 4 m까지
RA = kN
2.보의 지점 반력어려움
w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​ = ?RB​2 m1 m1 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 RA을(를) 구하시오.

L = 4 mP = 50 kN 위치 3 mw = 3 kN/m, 2부터 3 m까지
RA = kN
3.전단력과 휨 모멘트보통
P1​ = 70 kNP2​ = 35 kNAB1 m2 m1 m

단순보에 두 개의 집중 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 4 mP1 = 70 kN 위치 1 mP2 = 35 kN 위치 3 m
Mmax = kN·m
4.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 5 kN/mABC8 m2.5 m

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2.5 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 사이의 최대 정(正) 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 10.5 mw = 5 kN/m, 0부터 10.5 m까지x = 0과 x = 8 m에 지점
Mmax = kN·m
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB15 kN6 m1 m3 m

절점법으로 부재 AC의 부재력 FAC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 3 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 15 kN
FAC = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABCDEFGH40 kN25 kN35 kN4 × 4 m4 m

이 트러스의 부재 하나는 이 하중에서 힘을 받지 않습니다. 영력 부재는 어느 것입니까? 그림에서 클릭하세요.

D: 40 kN ↓F: 25 kN →G: 35 kN ↓
  1. 1부재 AB
  2. 2부재 BC
  3. 3부재 CD
  4. 4부재 DE
  5. 5부재 FG
  6. 6부재 GH
  7. 7부재 AF
  8. 8부재 HE
  9. 9부재 BF
  10. 10부재 CG
  11. 11부재 DH
  12. 12부재 BG
  13. 13부재 DG
7.보의 처짐보통
P = 21 kNABδ1 m7 m

단순보의 지점 A에서 a = 1 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.

P = 21 kNa = 1 mL = 8 mE = 200 GPa (강철)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.보의 처짐어려움
P = 24 kNABδ2.5 m1.5 m

단순보의 지점 B에서 b = 1.5 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 보의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

P = 24 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 200 GPa (강철)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 3 md = 40 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 25 kNL = 3 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 25 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 25 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm

3용액

1.보의 지점 반력

답: RA = 99 kN

캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.

분포 하중의 합력

W = 6·4 = 24 kN, x̄ = 2 m

연직 방향 평형

RA = P + W = 75 + 24 = 99 kN

답

RA = 99 kN
2.보의 지점 반력

답: RA = 13.63 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​RB​2 m1 m1 m

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·3 + 3·1·2.5
RB = 157.5/4 = 39.38 kN
ΣFy = 0: RA = 53 − 39.38 = 13.63 kN

답

RA = 13.63 kN
3.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 61.25 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

ΣMA = 0: RB·4 = 70·1 + 35·3
RB = 175/4 = 43.75 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 43.75 = 61.25 kN

각 하중 아래의 모멘트

각 하중의 왼쪽 부분을 남깁니다.

아래 P1: M = RA·1 = 61.25·1 = 61.25 kN·m
아래 P2: M = RB·1 = 43.75·1 = 43.75 kN·m

최댓값

Mmax = 61.25 kN·m (아래 P1)

답

Mmax = 61.25 kN·m
4.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 32.57 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·10.5 = 52.5 kN, 작용점 x̄ = 5.25 m
ΣMA = 0: RB·8 = 5·10.5·5.25
RB = 275.6/8 = 34.45 kN
ΣFy = 0: RA = 52.5 − 34.45 = 18.05 kN

전단력 0

RA − w·x0 = 0 → x0 = 18.05/5 = 3.609 m

최대 정모멘트

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 18.05²/(2·5) = 32.57 kN·m

답

Mmax = 32.57 kN·m
5.트러스: 절점법

답: FAC = 4.167 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·1 → Cy = 2.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 2.5 = 12.5 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −2.5/0.5145 = −4.859 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−4.859)·0.8575 = 4.167 kN

답

FAC = 4.167 kN (인장)
6.트러스: 절점법

답: 부재 CG

영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.

절점 C

BC과 CD은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

절점법으로 확인하기

모든 절점을 풀면 다음 부재력이 나옵니다(T = 인장, C = 압축).

AB: 46.25 kN (T), BC: 67.5 kN (T), CD: 67.5 kN (T), DE: 53.75 kN (T), FG: 46.25 kN (C), GH: 53.75 kN (C), AF: 30.05 kN (C), HE: 76.01 kN (C), BF: 21.25 kN (T), CG: 0, DH: 53.75 kN (T), BG: 30.05 kN (C), DG: 19.45 kN (C)

답

영력 부재: CG
7.보의 처짐

답: δP = 9.321 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 21000 N, a = 1000 mm, b = 7000 mm, L = 8000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

하중 아래의 처짐

δP = Pa²b²/(3EIL) = 21000·1000²·7000²/(3·4.6 × 10¹²·8000) = 9.321 mm

답

δP = 9.321 mm
8.보의 처짐

답: δmax = 12.27 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 24000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

최댓값의 위치

더 긴 구간에서 처짐각을 0으로 두면 위치가 나옵니다.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

최대 처짐

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 12.27 mm

답

δmax = 12.27 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 6.89 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·3000 = 6000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/6000² = 6890 N = 6.89 kN

답

Pcr = 6.89 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 66.79 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 3·25000 = 75000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 66.79 mm

답

d = 66.79 mm

확인: 세장비 KL/r는 179.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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