구조역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
P1​ = 10 kNP2​ = 45 kNABRA​ = ?RB​3 m3 m4 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 RA을(를) 구하시오.

L = 10 mP1 = 10 kN 위치 3 mP2 = 45 kN 위치 6 m
RA = kN
2.보의 지점 반력어려움
P = 45 kN, 30°Q = 30 kNABα = ?1 m3.5 m1.5 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 1 m 떨어진 곳에 수평과 30°를 이루는 하중 P가, A에서 4.5 m 떨어진 곳에 연직 하중 Q가 작용한다. 힌지 A의 전체 반력이 수평과 이루는 각 α을(를) 구하시오.

L = 6 mP = 45 kN 위치 1 m, θ = 30°Q = 30 kN 위치 4.5 m
α = °
3.전단력과 휨 모멘트보통
w = 8 kN/mAB단면3.5 m0.5 m

지점 A에서 x = 3.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 4 mw = 8 kN/m, 0부터 4 m까지x = 3.5 m
Mx = kN·m
4.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 6 kN/mP = 45 kNAB2.5 m1.5 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 4 mP = 45 kN 위치 2.5 mw = 6 kN/m, 0부터 4 m까지
Mmax = kN·m
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB50 kN5 m2 m3 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 5 m높이 = 3 mB는 A에서 2 m연직 하중 = 50 kN
FBC = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB15 kN20 kN5 m2 m3 m

절점법으로 부재 AC의 부재력 FAC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 5 m높이 = 3 mB는 A에서 2 m연직 하중 = 15 kN수평 하중 = 20 kN ←
FAC = kN
7.보의 처짐보통
w = 12 kN/mδL = 3 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.보의 처짐어려움
P = 20 kNAB1.5 m1.5 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. EI는 일정하다. 고정단의 휨 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.

L = 3 mP = 20 kN 위치 1.5 m
MA = kN·m
9.기둥의 좌굴보통
PL = 6 m50 × 60 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 2.5 md = 30 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm
σcr = MPa

3용액

1.보의 지점 반력

답: RA = 25 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

P1​ = 10 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​3 m3 m4 m

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·10 = 10·3 + 45·6
RB = 300/10 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 30 = 25 kN

답

RA = 25 kN
2.보의 지점 반력

답: α = 33.96 °

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

P의 성분

Pv = 45·sin 30° = 22.5 kN
Ph = 45·cos 30° = 38.97 kN

반력

ΣMA = 0: RB·6 = 22.5·1 + 30·4.5 → RB = 26.25 kN
Ay = 22.5 + 30 − 26.25 = 26.25 kN
Ax = Ph = 38.97 kN

A에서의 방향

α = atan(Ay/Ax) = atan(26.25/38.97) = 33.96°

답

α = 33.96°
3.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 7 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·4·2
RB = 64/4 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16단면3.5 m0.5 m

x = 3.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 16·3.5 − 8·3.5·1.75 = 7 kN·m

답

Mx = 7 kN·m
4.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 53.44 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·2.5 + 6·4·2
RB = 160.5/4 = 40.13 kN
ΣFy = 0: RA = 69 − 40.13 = 28.88 kN

V = 0인 곳은?

V(2.5⁻) = RA − w·2.5 = 13.88 kN
V(2.5⁺) = 13.88 − 45 = −31.13 kN
전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.

최대 모멘트

Mmax = RA·2.5 − w·2.5²/2 = 28.88·2.5 − 6·2.5²/2 = 53.44 kN·m

답

Mmax = 53.44 kN·m

A에서 x = 2.5 m인 곳에서 생깁니다.

5.트러스: 절점법

답: FBC = −28.28 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·5 = 50·2 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 20 = 30 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −20/0.7071 = −28.28 kN

답

FBC = −28.28 kN (압축)
6.트러스: 절점법

답: FAC = −6 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB15 kN20 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·5 = 15·2 − 20·3 → Cy = −6 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − −6 = 21 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−6/0.7071 = 8.485 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(8.485)·0.7071 = −6 kN

답

FAC = −6 kN (압축)
7.보의 처짐

답: δ = 10.85 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 12·3000⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 10.85 mm

답

δ = 10.85 mm
8.보의 처짐

답: MA = 11.25 kN·m

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·20/16 = 6.25 kN

고정단의 모멘트

하중과 받침력의 A에 대한 모멘트.

MA = P·L/2 − RB·L = 30 − 18.75 = 11.25 kN·m

답

MA = 11.25 kN·m
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 137.1 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/3000² = 137078 N = 137.1 kN

답

Pcr = 137.1 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 6.218 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/7.5 = 333.3

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333.3² = 6.218 MPa

답

σcr = 6.218 MPa

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