구조역학: 벼락치기 팩

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
P1​ = 60 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​ = ?1 m4 m1 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 6 mP1 = 60 kN 위치 1 mP2 = 30 kN 위치 5 m
RB = kN
2.보의 지점 반력어려움
w0​ = 8 kN/mP = 65 kNABMA​ = ?2.5 m1.5 m

캔틸레버 보는 A에서 벽에 고정되어 있다. 벽에서 0이고 자유단 B에서 8 kN/m로 증가하는 선형 분포 하중과, 벽에서 2.5 m 떨어진 곳의 집중 하중 P가 작용한다. 벽의 반력 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.

L = 4 mw0 = 8 kN/mP = 65 kN 위치 2.5 m
MA = kN·m
3.전단력과 휨 모멘트보통
w = 5 kN/mAB단면5.5 m2.5 m

지점 A에서 x = 5.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mw = 5 kN/m, 0부터 8 m까지x = 5.5 m
Mx = kN·m
4.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 4 kN/mABC8 m2 m

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 사이의 최대 정(正) 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 10 mw = 4 kN/m, 0부터 10 m까지x = 0과 x = 8 m에 지점
Mmax = kN·m
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB25 kN6 m2 m3 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 3 mB는 A에서 2 m연직 하중 = 25 kN
FBC = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB30 kN15 kN6 m2 m3 m

절점법으로 부재 AC의 부재력 FAC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 3 mB는 A에서 2 m연직 하중 = 30 kN수평 하중 = 15 kN →
FAC = kN
7.보의 처짐보통
w = 8 kN/mP = 23 kNABδ2 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가, 자유단에 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

P = 23 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.보의 처짐어려움
w = 12 kN/mδL = 1.5 m

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.

w = 12 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.기둥의 좌굴보통
PL = 3 m25 × 100 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 1 md = 50 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
σcr = MPa

3용액

1.보의 지점 반력

답: RB = 35 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

P1​ = 60 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​1 m4 m1 m

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·6 = 60·1 + 30·5
RB = 210/6 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 35 = 55 kN

답

RB = 35 kN
2.보의 지점 반력

답: MA = 205.2 kN·m

캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.

삼각형 하중의 합력

W = ½·8·4 = 16 kN
x̄ = 2L/3 = 2.667 m

벽에 대한 모멘트

MA = W·x̄ + P·a = 16·2.667 + 65·2.5 = 205.2 kN·m

답

MA = 205.2 kN·m
3.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 34.38 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 5·8·4
RB = 160/8 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20단면5.5 m2.5 m

x = 5.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 20·5.5 − 5·5.5·2.75 = 34.38 kN·m

답

Mx = 34.38 kN·m
4.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 28.13 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·10·5
RB = 200/8 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 25 = 15 kN

전단력 0

RA − w·x0 = 0 → x0 = 15/4 = 3.75 m

최대 정모멘트

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 15²/(2·4) = 28.13 kN·m

답

Mmax = 28.13 kN·m
5.트러스: 절점법

답: FBC = −13.89 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·2 → Cy = 8.333 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 8.333 = 16.67 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8.333/0.6 = −13.89 kN

답

FBC = −13.89 kN (압축)
6.트러스: 절점법

답: FAC = 23.33 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB30 kN15 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 30·2 + 15·3 → Cy = 17.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 17.5 = 12.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −17.5/0.6 = −29.17 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−29.17)·0.8 = 23.33 kN

답

FAC = 23.33 kN (인장)
7.보의 처짐

답: δ = 19.38 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 23000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

각 하중을 따로

δP = PL³/(3EI) = 23000·2000³/(3·3.99 × 10¹²) = 15.37 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 4.01 mm

더하기

δ = 15.37 + 4.01 = 19.38 mm

답

δ = 19.38 mm
8.보의 처짐

답: Ireq = 17.26 × 10⁶ mm⁴

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

처짐 한계

δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·1500⁴/(384·11000·4.167) = 1.726 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 17.26 × 10⁶ mm⁴

답

Ireq = 17.26 × 10⁶ mm⁴
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 2.499 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·3000 = 6000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/6000² = 2499 N = 2.499 kN

답

Pcr = 2.499 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 77.11 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12.5 = 160

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77.11 MPa

답

σcr = 77.11 MPa

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