구조역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트: M = F·d

방법

자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣF_y = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
단면법: ΣM = 0 about a cut point
부재력: 양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 R_A을(를) 구하시오.

L = 5 mP₁ = 50 kN 위치 2.5 mP₂ = 50 kN 위치 3 m

R_A = kN

2.보의 지점 반력어려움

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 4 m 떨어진 곳에 수평과 40°를 이루는 하중 P가, A에서 7 m 떨어진 곳에 연직 하중 Q가 작용한다. 힌지 A의 전체 반력 크기 R_A을(를) 구하시오.

L = 10 mP = 45 kN 위치 4 m, θ = 40°Q = 45 kN 위치 7 m

R_A = kN

3.전단력과 휨 모멘트보통

단순보의 A에서 x = 3 m인 곳에 시계 방향 우력 M₀ = 10 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 오른쪽의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mM₀ = 10 kN·m 시계 방향, 위치 3 m

M_x = kN·m

4.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 0.5 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 4 mP = 55 kN 위치 1.5 mw = 4 kN/m, 0부터 4 m까지x = 0.5 m

M_x = kN·m

5.트러스: 절점법보통

절점법으로 부재 BC의 부재력 F_BC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 2 mB는 A에서 7 m연직 하중 = 60 kN

F_BC = kN

6.트러스: 절점법어려움

절점법으로 부재 AC의 부재력 F_AC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 3 mB는 A에서 2 m연직 하중 = 20 kN수평 하중 = 30 kN →

F_AC = kN

7.보의 처짐보통

길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 2.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 자유단 B의 처짐 δ_B을(를) 구하시오.

P = 20 kNa = 2.5 mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.보의 처짐어려움

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 I_req을(를) 구하시오.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 60 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 110 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 110 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

3용액

1.보의 지점 반력

답: R_A = 45 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2.5 + 50·3

R_B = 275/5 = 55 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 55 = 45 kN

답

R_A = 45 kN

2.보의 지점 반력

답: R_A = 46.26 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

P의 성분

P_v = 45·sin 40° = 28.93 kN

P_h = 45·cos 40° = 34.47 kN

반력

ΣM_A = 0: R_B·10 = 28.93·4 + 45·7 → R_B = 43.07 kN

A_y = 28.93 + 45 − 43.07 = 30.86 kN

A_x = P_h = 34.47 kN

A의 합력

R_A = √(34.47² + 30.86²) = 46.26 kN

답

R_A = 46.26 kN

3.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 6.25 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.

지점 반력

A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: R_B·L − M₀ = 0. 연직 평형: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 10/8 = 1.25 kN (위쪽)

R_A = −R_B = −1.25 kN (아래쪽)

우력 바로 오른쪽에서 자른다

이제 왼쪽 부분에는 R_A와 우력이 포함됩니다.

M_x = R_A·a + M₀ = −1.25·3 + 10 = 6.25 kN·m

답

M_x = 6.25 kN·m

4.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 20.69 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, 작용점 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1.5 + 4·4·2

R_B = 114.5/4 = 28.63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 71 − 28.63 = 42.38 kN

x = 0.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 42.38·0.5 − 4·0.5·0.25 = 20.69 kN·m

답

M_x = 20.69 kN·m

5.트러스: 절점법

답: F_BC = −58.7 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·7 → C_y = 52.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 52.5 = 7.5 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −52.5/0.8944 = −58.7 kN

답

F_BC = −58.7 kN (압축)

6.트러스: 절점법

답: F_AC = 28.89 kN

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·2 + 30·3 → C_y = 21.67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 21.67 = −1.667 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21.67/0.6 = −36.11 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−36.11)·0.8 = 28.89 kN

답

F_AC = 28.89 kN (인장)

7.보의 처짐

답: δ_B = 8.138 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 20000 N, a = 2500 mm, L = 5000 mm

EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

자유단의 처짐

하중 위치의 처짐 더하기 하중 위치의 처짐각 × 나머지 길이.

δ_P = Pa³/(3EI) = 3.255 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.001953 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 8.138 mm

답

δ_B = 8.138 mm

8.보의 처짐

답: I_req = 3.214 × 10⁶ mm⁴

처짐 한계

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·2000⁴/(384·70000·5.556) = 3.214 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3.214 × 10⁶ mm⁴

답

I_req = 3.214 × 10⁶ mm⁴

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 78.48 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·4000 = 4000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78.48 kN

답

P_cr = 78.48 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 100.5 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·110000 = 275000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 100.5 mm

답

d = 100.5 mm

확인: 세장비 KL/r는 238.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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