구조역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
w = 10 kN/mP = 70 kNABMA​ = ?4 m2 m

캔틸레버 보는 A에서 벽에 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, 벽에서 4 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 벽의 반력 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.

L = 6 mP = 70 kN 위치 4 mw = 10 kN/m, 0부터 6 m까지
MA = kN·m
2.보의 지점 반력어려움
P = 15 kNQ = 60 kNADCMA​ = ?2 m2 m1 m3 m

겔버보는 A에서 벽에 고정되어 있고, C(A에서 4 m)에 내부 힌지가 있으며, D(A에서 8 m)의 롤러 위에 놓여 있다. 하중은 A에서 5 m 떨어진 곳의 집중 하중 P 그리고 A에서 2 m 떨어진 곳의 집중 하중 Q이다. 벽의 반력 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.

AC = 4 mAD = 8 mP = 15 kN 위치 5 mQ = 60 kN 위치 2 m
MA = kN·m
3.전단력과 휨 모멘트보통
P1​ = 15 kNP2​ = 15 kNABC2.5 m3.5 m1.5 m

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1.5 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P1, C에 집중 하중 P2이 작용한다. 지점 B에서의 휨 모멘트 MB을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 7.5 mP1 = 15 kN 위치 2.5 mP2 = 15 kN 위치 7.5 mx = 0과 x = 6 m에 지점
MB = kN·m
4.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 12 kN/mP = 55 kNAB단면4 m5 m1 m

지점 A에서 x = 9 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mP = 55 kN 위치 4 mw = 12 kN/m, 0부터 10 m까지x = 9 m
Mx = kN·m
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB45 kN6 m2 m2 m

절점법으로 부재 AC의 부재력 FAC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 2 mB는 A에서 2 m연직 하중 = 45 kN
FAC = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB60 kN15 kN6 m2 m2 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 2 mB는 A에서 2 m연직 하중 = 60 kN수평 하중 = 15 kN ←
FBC = kN
7.보의 처짐보통
w = 2 kN/mδL = 5 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.보의 처짐어려움
w = 12 kN/mAB5 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 5 mw = 12 kN/m
RB = kN
9.기둥의 좌굴보통
PL = 6 m40 × 80 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 15 kNL = 6 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 15 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 15 kNn = 2.5L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm

3용액

1.보의 지점 반력

답: MA = 460 kN·m

캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.

분포 하중의 합력

W = 10·6 = 60 kN, x̄ = 3 m

벽에 대한 모멘트

MA = P·a + W·x̄ = 70·4 + 60·3 = 460 kN·m

답

MA = 460 kN·m
2.보의 지점 반력

답: MA = 165 kN·m

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요. 내부 힌지는 휨 모멘트를 전달할 수 없으므로 방정식이 하나 더 생깁니다. 어느 한쪽의 힘들의 힌지에 대한 모멘트는 0입니다.

CD 부분

힌지에는 모멘트가 없으므로 CD만의 C에 대한 모멘트가 평형을 이루어야 합니다.

ΣMC = 0: RD·4 = 15·1
RD = 3.75 kN
VC = 15 − 3.75 = 11.25 kN

AC 부분

힌지력 VC는 AC에 아래로 작용합니다(CD에 대한 작용과 크기가 같고 방향이 반대).

RA = 60 + 11.25 = 71.25 kN
MA = 60·2 + 11.25·4 = 165 kN·m

답

MA = 165 kN·m
3.전단력과 휨 모멘트

답: MB = −22.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.

ΣMA = 0: RB·6 = 15·2.5 + 15·7.5
RB = 150/6 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 25 = 5 kN

B에서 자르고 내민 부분을 남긴다

내민 부분에는 P2만 작용하며 모멘트 팔은 a입니다. 이 하중은 지점 위에서 보를 위로 볼록하게 휩니다(부모멘트).

MB = −P2·a = −15·1.5 = −22.5 kN·m

답

MB = −22.5 kN·m
4.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 76 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 55·4 + 12·10·5
RB = 820/10 = 82 kN
ΣFy = 0: RA = 175 − 82 = 93 kN
w = 12 kN/mP = 55 kNABRA​ = 93RB​ = 82단면4 m5 m1 m

x = 9 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 93·9 − 55·(9 − 4) − 12·9·4.5 = 76 kN·m

답

Mx = 76 kN·m
5.트러스: 절점법

답: FAC = 30 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·2 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 15 = 30 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −15/0.4472 = −33.54 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−33.54)·0.8944 = 30 kN

답

FAC = 30 kN (인장)
6.트러스: 절점법

답: FBC = −33.54 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB60 kN15 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 60·2 − 15·2 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 15 = 45 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −15/0.4472 = −33.54 kN

답

FBC = −33.54 kN (압축)
7.보의 처짐

답: δmax = 2.768 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

처짐

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 2.768 mm

답

δmax = 2.768 mm
8.보의 처짐

답: RB = 22.5 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·12·5/8 = 22.5 kN

답

RB = 22.5 kN
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 8.188 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·6000 = 6000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/6000² = 8188 N = 8.188 kN

답

Pcr = 8.188 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 66.46 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·15000 = 37500 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 66.46 mm

답

d = 66.46 mm

확인: 세장비 KL/r는 252.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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