구조역학: 벼락치기 팩

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
w = 4 kN/mP = 60 kNABRA​ = ?3 m0.5 m2.5 m

캔틸레버 보는 A에서 벽에 고정되어 있다. 벽에서 3.5 m까지 등분포 하중 w가 작용하고, 벽에서 3 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 벽의 연직 반력 RA을(를) 구하시오.

L = 6 mP = 60 kN 위치 3 mw = 4 kN/m, 0부터 3.5 m까지
RA = kN
2.보의 지점 반력어려움
w = 4 kN/mP = 65 kNABCRB​ = ?3 m4 m3 m

보는 A에 힌지, A에서 7 m 떨어진 B에 롤러가 있고, B에서 자유단 C까지 내밀어져 있다. A에서 3 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가, 7 m에서 10 m의 자유단까지 등분포 하중 w가 작용한다. 위쪽을 양으로 하여 연직 반력 RB을(를) 구하시오.

AB = 7 mAC = 10 mP = 65 kN 위치 3 mw = 4 kN/m, 7부터 10 m까지
RB = kN
3.전단력과 휨 모멘트보통
w = 12 kN/mAB단면3.5 m2.5 m

지점 A에서 x = 3.5 m인 단면의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mw = 12 kN/m, 0부터 6 m까지x = 3.5 m
Vx = kN
4.전단력과 휨 모멘트어려움
10 kN/m30 kN15 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

30 kN @ 0 m15 kN @ 6 m10 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB40 kN4 m3 m3 m

절점법으로 부재 AB의 부재력 FAB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 4 m높이 = 3 mB는 A에서 3 m연직 하중 = 40 kN
FAB = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB55 kN5 kN4 m3 m3 m

절점법으로 부재 AB의 부재력 FAB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 4 m높이 = 3 mB는 A에서 3 m연직 하중 = 55 kN수평 하중 = 5 kN ←
FAB = kN
7.보의 처짐보통
P = 7 kNABδ1.5 m3.5 m

길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 1.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 자유단 B의 처짐 δB을(를) 구하시오.

P = 7 kNa = 1.5 mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.보의 처짐어려움
w = 15 kN/mδL = 4 m

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (구조용 목재)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.기둥의 좌굴보통
PL = 1.5 m40 × 100 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 5 md = 60 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm
σcr = MPa

3용액

1.보의 지점 반력

답: RA = 74 kN

캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.

분포 하중의 합력

W = 4·3.5 = 14 kN, x̄ = 1.75 m

연직 방향 평형

RA = P + W = 60 + 14 = 74 kN

답

RA = 74 kN
2.보의 지점 반력

답: RB = 42.43 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

분포 하중의 합력

W = 4·3 = 12 kN, x̄ = (7 + 10)/2 = 8.5 m

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·7 = 65·3 + 12·8.5
RB = 297/7 = 42.43 kN
RA = 77 − 42.43 = 34.57 kN

답

RB = 42.43 kN
3.전단력과 휨 모멘트

답: Vx = −6 kN

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·6·3
RB = 216/6 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 36 = 36 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 36RB​ = 36단면3.5 m2.5 m

x = 3.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

V = RA − (절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중)
Vx = 36 − 12·3.5 = −6 kN

답

Vx = −6 kN
4.전단력과 휨 모멘트

답: B (x = 1 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 53.75 kN, R2 = 31.25 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = −30 kN·m, MC = −11.25, MD = −2.5, ME = −3.75, MF = −15, MG = 0

답

표시점 B: MB = −30 kN·m
5.트러스: 절점법

답: FAB = −14.14 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 30 = 10 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10/0.7071 = −14.14 kN

답

FAB = −14.14 kN (압축)
6.트러스: 절점법

답: FAB = −24.75 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB55 kN5 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·4 = 55·3 − 5·3 → Cy = 37.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 37.5 = 17.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −17.5/0.7071 = −24.75 kN

답

FAB = −24.75 kN (압축)
7.보의 처짐

답: δB = 20.85 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 7000 N, a = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

자유단의 처짐

하중 위치의 처짐 더하기 하중 위치의 처짐각 × 나머지 길이.

δP = Pa³/(3EI) = 4.632 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.004632 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 20.85 mm

답

δB = 20.85 mm
8.보의 처짐

답: Ireq = 409.1 × 10⁶ mm⁴

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

처짐 한계

δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·4000⁴/(384·11000·11.11) = 4.091 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 409.1 × 10⁶ mm⁴

답

Ireq = 409.1 × 10⁶ mm⁴
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 117 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·1500 = 3000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/3000² = 116973 N = 117 kN

답

Pcr = 117 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 1.554 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/15 = 666.7

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/666.7² = 1.554 MPa

답

σcr = 1.554 MPa

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