파동과 광학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 4개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.용수철과 진자보통

k = 320 N/m인 스프링에 매단 3 kg 질량이 마찰 없는 면 위에서 진폭 15 cm로 진동한다. 평형점에서 14 cm 떨어져 있을 때의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 3 kgk = 320 N/mA = 15 cmx = 14 cm

v = m/s

2.용수철과 진자어려움

k = 460 N/m인 용수철에 매단 3.1 kg 물체를 평형 위치에서 6 cm 당겼다가 놓는다. 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

m = 3.1 kgk = 460 N/mA = 6 cm

v_max = m/s

3.파동, 소리, 광학보통

양 끝이 고정된 줄의 길이는 1.2 m이고 그 위로 파동이 200 m/s로 진행한다. 2번째 배진동의 진동수 f₂을(를) 구하시오.

v = 200 m/sn = 2L = 1.2 m

f₂ = Hz

4.파동, 소리, 광학어려움

0.5 mm 떨어진 두 슬릿에 단색광을 비춘다. 1.5 m 떨어진 스크린에서 4번째 밝은 무늬가 중앙 무늬에서 5.76 mm에 있다. 파장 λ을(를) 구하시오.

d = 0.5 mmL = 1.5 my₄ = 5.76 mmm = 4

λ = nm

3용액

1.용수철과 진자

답: v = 0.5562 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

각주파수

ω = √(320/3) = 10.33 rad/s

x에서의 속력

v = ω·√(A² − x²) = 10.33·√(0.15² − 0.14²) = 0.5562 m/s

답

v = 0.5562 m/s

2.용수철과 진자

답: v_max = 0.7309 m/s

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

각주파수

ω = √(460/3.1) = 12.18 rad/s

최대 속력

v_max = A·ω = 0.06·12.18 = 0.7309 m/s

답

v_max = 0.7309 m/s

3.파동, 소리, 광학

답: f₂ = 166.7 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

이 진동 모드의 파장

λ = 2L/n = 2·1.2/2 = 1.2 m

진동수

f = v/λ = 200/1.2 = 166.7 Hz

답

f₂ = 166.7 Hz

4.파동, 소리, 광학

답: λ = 480 nm

간섭과 회절: 거리 d만큼 떨어진 두 슬릿을 지난 빛은 경로차 d·sin θ를 가지고 스크린의 한 점에 도달합니다. 밝은 무늬는 d·sin θ = mλ(m = 0, ±1, ±2, …)인 곳에 나타납니다. 스크린까지의 거리 L ≫ d이면 m번째 밝은 무늬는 y = mλL/d에 있고 무늬 간격은 Δy = λL/d입니다. 1 mm당 N개의 선이 있는 격자는 d = 1/N이고 d·sin θ = mλ에서 날카로운 극대를 만듭니다. sin θ ≤ 1이므로 가장 높은 차수는 m ≤ d/λ를 만족하는 가장 큰 정수입니다. 폭 a의 단일 슬릿은 a·sin θ = mλ (m = ±1, ±2, …)에서 어두운 무늬를 만듭니다.

파장

λ = y·d/(mL) = 0.00576·0.0005/(4·1.5) = 4.8 × 10⁻⁷ m = 480 nm

답

λ = 480 nm

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