용수철과 진자
- 용수철에 매달린 물체
- T = 2π·√(m/k)
- 단진자
- T = 2π·√(L/g)
- 각주파수
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 최대 속력과 최대 가속도
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 에너지
- E = ½·k·A²
파동과 광학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 4개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
파동, 소리, 광학
- 파동의 속력
- v = fλ, T = 1/f
- 줄
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 음의 세기 수준
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 점음원
- I = P/(4πr²)
- 정상파
- 줄 또는 열린 관 fn = n·v/(2L); 닫힌 관 fn = n·v/(4L), n은 홀수
- 도플러 효과
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 굴절률
- n = c/v, λ = λ0/n
- 스넬의 법칙
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 임계각
- sin θc = n2/n1
- 광섬유
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 렌즈와 거울
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 이중 슬릿
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 회절 격자
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 단일 슬릿
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
방법
- 문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
- 관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- 단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
- 부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.
2연습 문제
1.용수철과 진자보통
k = 290 N/m인 스프링에 매단 3.5 kg 질량을 양의 방향으로 13 cm 당겼다가 t = 0에 정지 상태에서 놓는다. t = 1 s에서 평형점으로부터의 변위 x(부호 포함)을(를) 구하시오.
m = 3.5 kgk = 290 N/mA = 13 cmt = 1 s
x = cm
2.용수철과 진자어려움
k = 420 N/m인 스프링에 매단 질량이 마찰 없는 면 위에서 진폭 4 cm로 진동한다. 질량이 평형점에서 3 cm 떨어져 있을 때 스프링에 저장된 에너지 U을(를) 구하시오.
k = 420 N/mA = 4 cmx = 3 cm
U = J
3.파동, 소리, 광학보통
한쪽 끝이 닫힌 관의 길이는 0.4 m이다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 7번째 배진동의 진동수 f7을(를) 구하시오.
v = 343 m/sn = 7L = 0.4 m
f7 = Hz
4.파동, 소리, 광학어려움
파장 480 nm의 빛이 0.15 mm 떨어진 두 슬릿에 입사한다. 스크린은 2 m 떨어져 있다. 중앙 밝은 무늬에서 4번째 밝은 무늬까지의 거리 y4을(를) 구하시오.
λ = 480 nmd = 0.15 mmL = 2 mm = 4
y4 = mm
3용액
1.용수철과 진자
답: x = −12.33 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
각주파수
ω = √(290/3.5) = 9.103 rad/s
ω·t = 9.103·1 = 9.103 rad
변위
x = A·cos(ω·t) = 13·cos(9.103) = −12.33 cm
답
x = −12.33 cm
2.용수철과 진자
답: U = 0.189 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
전체 에너지
E = ½·k·A² = ½·420·0.04² = 0.336 J
x에서의 스프링 에너지
U = ½·k·x² = ½·420·0.03² = 0.189 J
답
U = 0.189 J
3.파동, 소리, 광학
답: f7 = 1501 Hz
정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 fn = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.
이 진동 모드의 파장
λ = 4L/n = 4·0.4/7 = 0.2286 m
진동수
f = v/λ = 343/0.2286 = 1501 Hz
답
f7 = 1501 Hz
4.파동, 소리, 광학
답: y4 = 25.6 mm
간섭과 회절: 거리 d만큼 떨어진 두 슬릿을 지난 빛은 경로차 d·sin θ를 가지고 스크린의 한 점에 도달합니다. 밝은 무늬는 d·sin θ = mλ(m = 0, ±1, ±2, …)인 곳에 나타납니다. 스크린까지의 거리 L ≫ d이면 m번째 밝은 무늬는 y = mλL/d에 있고 무늬 간격은 Δy = λL/d입니다. 1 mm당 N개의 선이 있는 격자는 d = 1/N이고 d·sin θ = mλ에서 날카로운 극대를 만듭니다. sin θ ≤ 1이므로 가장 높은 차수는 m ≤ d/λ를 만족하는 가장 큰 정수입니다. 폭 a의 단일 슬릿은 a·sin θ = mλ (m = ±1, ±2, …)에서 어두운 무늬를 만듭니다.
무늬 간격
Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·2/(0.15 × 10⁻³) = 6.4 mm
4번째 무늬
y4 = 4·6.4 = 25.6 mm
답
y4 = 25.6 mm
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