용수철과 진자
- 용수철에 매달린 물체
- T = 2π·√(m/k)
- 단진자
- T = 2π·√(L/g)
- 각주파수
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 최대 속력과 최대 가속도
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 에너지
- E = ½·k·A²
파동과 광학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 4개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
파동, 소리, 광학
- 파동의 속력
- v = fλ, T = 1/f
- 줄
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 음의 세기 수준
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 점음원
- I = P/(4πr²)
- 정상파
- 줄 또는 열린 관 fn = n·v/(2L); 닫힌 관 fn = n·v/(4L), n은 홀수
- 도플러 효과
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 굴절률
- n = c/v, λ = λ0/n
- 스넬의 법칙
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 임계각
- sin θc = n2/n1
- 광섬유
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 렌즈와 거울
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 이중 슬릿
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 회절 격자
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 단일 슬릿
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
방법
- 문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
- 관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- 단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
- 부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.
2연습 문제
1.용수철과 진자보통
k = 240 N/m인 스프링에 매단 1.8 kg 질량을 양의 방향으로 3 cm 당겼다가 t = 0에 정지 상태에서 놓는다. t = 0.25 s에서 평형점으로부터의 변위 x(부호 포함)을(를) 구하시오.
m = 1.8 kgk = 240 N/mA = 3 cmt = 0.25 s
x = cm
2.용수철과 진자어려움
k = 100 N/m인 늘어나지 않은 수직 스프링의 아래 끝에 2.5 kg 질량을 달고 정지 상태에서 놓는다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 질량의 최대 속력 vmax을(를) 구하시오.
m = 2.5 kgk = 100 N/mg = 9.81 m/s²
vmax = m/s
3.파동, 소리, 광학보통
물체가 초점 거리 5 cm인 얇은 수렴 렌즈 앞 30 cm에 서 있다. 상거리 di을(를) 구하시오. 부호 규약 1/f = 1/do + 1/di를 쓴다(오목 렌즈는 f < 0, 허상은 di < 0).
do = 30 cmf = 5 cm
di = cm
4.파동, 소리, 광학어려움
회절 격자에 1 mm당 100개의 선이 있다. 파장 589 nm의 빛이 수직으로 입사한다. 볼 수 있는 밝은 극대의 가장 높은 차수 mmax은(는) 얼마인가?
N = 100 mm⁻¹λ = 589 nm
mmax =
3용액
1.용수철과 진자
답: x = −2.903 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
각주파수
ω = √(240/1.8) = 11.55 rad/s
ω·t = 11.55·0.25 = 2.887 rad
변위
x = A·cos(ω·t) = 3·cos(2.887) = −2.903 cm
답
x = −2.903 cm
2.용수철과 진자
답: vmax = 1.551 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
평형점과 진폭
x₀ = m·g/k = 2.5·9.81/100 = 0.2453 m = A
최대 속력
속력은 평형점에서 가장 큽니다.
ω = √(100/2.5) = 6.325 rad/s
vmax = A·ω = 0.2453·6.325 = 1.551 m/s
답
vmax = 1.551 m/s
3.파동, 소리, 광학
답: di = 6 cm
기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θc = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/do + 1/di를 따르며 배율은 m = −di/do입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 di > 0, 허상은 di < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.
얇은 렌즈 공식
1/di = 1/f − 1/do = 1/5 − 1/30
di = 6 cm
광선도
실상, 렌즈의 반대쪽
답
di = 6 cm
4.파동, 소리, 광학
답: mmax = 16
간섭과 회절: 거리 d만큼 떨어진 두 슬릿을 지난 빛은 경로차 d·sin θ를 가지고 스크린의 한 점에 도달합니다. 밝은 무늬는 d·sin θ = mλ(m = 0, ±1, ±2, …)인 곳에 나타납니다. 스크린까지의 거리 L ≫ d이면 m번째 밝은 무늬는 y = mλL/d에 있고 무늬 간격은 Δy = λL/d입니다. 1 mm당 N개의 선이 있는 격자는 d = 1/N이고 d·sin θ = mλ에서 날카로운 극대를 만듭니다. sin θ ≤ 1이므로 가장 높은 차수는 m ≤ d/λ를 만족하는 가장 큰 정수입니다. 폭 a의 단일 슬릿은 a·sin θ = mλ (m = ±1, ±2, …)에서 어두운 무늬를 만듭니다.
선 간격
d = 1/100 mm = 10 µm
가장 높은 차수
m ≤ d/λ = 10 µm/0.589 µm = 16.98 → mmax = 16
답
mmax = 16
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