용수철과 진자
- 용수철에 매달린 물체
- T = 2π·√(m/k)
- 단진자
- T = 2π·√(L/g)
- 각주파수
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 최대 속력과 최대 가속도
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 에너지
- E = ½·k·A²
파동과 광학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 4개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
파동, 소리, 광학
- 파동의 속력
- v = fλ, T = 1/f
- 줄
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 음의 세기 수준
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 점음원
- I = P/(4πr²)
- 정상파
- 줄 또는 열린 관 fn = n·v/(2L); 닫힌 관 fn = n·v/(4L), n은 홀수
- 도플러 효과
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 굴절률
- n = c/v, λ = λ0/n
- 스넬의 법칙
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 임계각
- sin θc = n2/n1
- 광섬유
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 렌즈와 거울
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 이중 슬릿
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 회절 격자
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 단일 슬릿
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
방법
- 문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
- 관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- 단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
- 부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.
2연습 문제
1.용수철과 진자보통
k = 30 N/m인 스프링에 매단 3.1 kg 질량이 마찰 없는 면 위에서 진폭 20 cm로 진동한다. 평형점에서 10 cm 떨어져 있을 때의 속력 v을(를) 구하시오.
m = 3.1 kgk = 30 N/mA = 20 cmx = 10 cm
v = m/s
2.용수철과 진자어려움
k = 110 N/m인 스프링에 매단 질량이 마찰 없는 면 위에서 진폭 11 cm로 진동한다. 질량이 평형점에서 1 cm 떨어져 있을 때 스프링에 저장된 에너지 U을(를) 구하시오.
k = 110 N/mA = 11 cmx = 1 cm
U = J
3.파동, 소리, 광학보통
관측자가 400 Hz의 정지한 음원을 향해 20 m/s로 움직인다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 관측자가 듣는 진동수 f′을(를) 구하시오.
f = 400 Hzv = 343 m/svo = 20 m/s
f′ = Hz
4.파동, 소리, 광학어려움
얇은 렌즈 두 개가 같은 축 위에 15 cm 떨어져 있다. 렌즈 1은 f₁ = 12 cm, 렌즈 2는 f₂ = 15 cm이다. 물체가 렌즈 1 앞 20 cm에 서 있다. 렌즈 2에서 잰 최종 상의 위치 di2을(를) 구하시오(렌즈 2 뒤쪽이 양수이며, 실상이 양수인 규약).
f1 = 12 cmf2 = 15 cms = 15 cmdo = 20 cm
di2 = cm
3용액
1.용수철과 진자
답: v = 0.5388 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
각주파수
ω = √(30/3.1) = 3.111 rad/s
x에서의 속력
v = ω·√(A² − x²) = 3.111·√(0.2² − 0.1²) = 0.5388 m/s
답
v = 0.5388 m/s
2.용수철과 진자
답: U = 0.0055 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
전체 에너지
E = ½·k·A² = ½·110·0.11² = 0.6655 J
x에서의 스프링 에너지
U = ½·k·x² = ½·110·0.01² = 0.0055 J
답
U = 0.0055 J
3.파동, 소리, 광학
답: f′ = 423.3 Hz
정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 fn = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.
도플러 공식
f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 400·(343 + 20)/(343 − 0)
f′ = 423.3 Hz
답
f′ = 423.3 Hz
4.파동, 소리, 광학
답: di2 = 7.5 cm
기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θc = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/do + 1/di를 따르며 배율은 m = −di/do입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 di > 0, 허상은 di < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.
렌즈 1의 상
1/di1 = 1/12 − 1/20 → di1 = 30 cm
렌즈 2의 물체
do2 = 15 − 30 = −15 cm
최종 상
1/di2 = 1/15 − 1/(−15) → di2 = 7.5 cm
답
di2 = 7.5 cm
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