파동과 광학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 4개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체
T = 2π·√(m/k)
단진자
T = 2π·√(L/g)
각주파수
ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도
vmax = A·ω, amax = A·ω²
에너지
E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력
v = fλ, T = 1/f
줄
v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
점음원
I = P/(4πr²)
정상파
줄 또는 열린 관 fn = n·v/(2L); 닫힌 관 fn = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
굴절률
n = c/v, λ = λ0/n
스넬의 법칙
n1sin θ1 = n2sin θ2
임계각
sin θc = n2/n1
광섬유
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
렌즈와 거울
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
이중 슬릿
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
회절 격자
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
단일 슬릿
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

  1. 문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
  2. 관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. 단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
  4. 부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.용수철과 진자보통
t (s)x (cm)0.6 s

k = 240 N/m인 스프링에 매단 2.5 kg 질량을 양의 방향으로 3 cm 당겼다가 t = 0에 정지 상태에서 놓는다. t = 0.6 s에서 평형점으로부터의 변위 x(부호 포함)을(를) 구하시오.

m = 2.5 kgk = 240 N/mA = 3 cmt = 0.6 s
x = cm
2.용수철과 진자어려움
3 kgk = 400 N/m400 m/s

400 m/s로 움직이는 20 g 총알이 마찰 없는 면 위에 정지해 있는 3 kg 블록에 맞아 박힌다. 블록은 k = 400 N/m인 수평 스프링에 연결되어 있다. 이로 인한 진동의 진폭 A을(를) cm로 구하시오.

m = 20 gv = 400 m/sM = 3 kgk = 400 N/m
A = cm
3.파동, 소리, 광학보통
L = 1.2 mn = 5

한쪽 끝이 닫힌 관의 길이는 1.2 m이다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 5번째 배진동의 진동수 f5을(를) 구하시오.

v = 343 m/sn = 5L = 1.2 m
f5 = Hz
4.파동, 소리, 광학어려움
θa​ = ?n1​ = 1.5n2​ = 1.45n0​ = 1.00

광섬유의 코어는 n₁ = 1.5이고 클래딩은 n₂ = 1.45이다. 공기 중의 빛이 섬유의 끝면으로 들어가 전반사로 계속 안내될 수 있는 섬유 축에 대한 최대 각 θa을(를) 구하시오.

n1 = 1.5n2 = 1.45n0 = 1.00
θa = °

3용액

1.용수철과 진자

답: x = 2.758 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

각주파수

ω = √(240/2.5) = 9.798 rad/s
ω·t = 9.798·0.6 = 5.879 rad

변위

x = A·cos(ω·t) = 3·cos(5.879) = 2.758 cm

답

x = 2.758 cm
2.용수철과 진자

답: A = 23.02 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

충돌 후의 속력

V = m·v/(m + M) = 0.02·400/3.02 = 2.649 m/s

각주파수

ω = √(k/(m + M)) = √(400/3.02) = 11.51 rad/s

진폭

A = V/ω = 2.649/11.51 = 0.2302 m = 23.02 cm

답

A = 23.02 cm
3.파동, 소리, 광학

답: f5 = 357.3 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 fn = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

이 진동 모드의 파장

λ = 4L/n = 4·1.2/5 = 0.96 m

진동수

f = v/λ = 343/0.96 = 357.3 Hz

답

f5 = 357.3 Hz
4.파동, 소리, 광학

답: θa = 22.59 °

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θc = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/do + 1/di를 따르며 배율은 m = −di/do입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 di > 0, 허상은 di < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

클래딩에서의 임계각

sin θc = 1.45/1.5 = 0.9667 → θc = 75.16°

개구수

NA = √(1.5² − 1.45²) = 0.3841

수광각

θa = arcsin(0.3841) = 22.59°

답

θa = 22.59°

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