파동과 광학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 4개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체
T = 2π·√(m/k)
단진자
T = 2π·√(L/g)
각주파수
ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도
vmax = A·ω, amax = A·ω²
에너지
E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력
v = fλ, T = 1/f
줄
v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
점음원
I = P/(4πr²)
정상파
줄 또는 열린 관 fn = n·v/(2L); 닫힌 관 fn = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
굴절률
n = c/v, λ = λ0/n
스넬의 법칙
n1sin θ1 = n2sin θ2
임계각
sin θc = n2/n1
광섬유
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
렌즈와 거울
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
이중 슬릿
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
회절 격자
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
단일 슬릿
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

  1. 문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
  2. 관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. 단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
  4. 부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.용수철과 진자보통
L = ?

주기가 2.7 s인 단진자의 길이는 얼마여야 하는가? g = 9.81 m/s²를 쓴다. L을(를) 구하시오.

T = 2.7 sg = 9.81 m/s²
L = m
2.용수철과 진자어려움
2 kgk = 1900 N/m200 m/s

200 m/s로 움직이는 5 g 총알이 마찰 없는 면 위에 정지해 있는 2 kg 블록에 맞아 박힌다. 블록은 k = 1900 N/m인 수평 스프링에 연결되어 있다. 이로 인한 진동의 진폭 A을(를) cm로 구하시오.

m = 5 gv = 200 m/sM = 2 kgk = 1900 N/m
A = cm
3.파동, 소리, 광학보통
70 dB?5 m10 m

작은 음원이 모든 방향으로 똑같이 소리를 낸다. 음원에서 5 m 떨어진 곳의 수준이 70 dB이다. 흡수와 반사를 무시할 때 10 m 떨어진 곳의 수준 β2을(를) 구하시오.

β1 = 70 dBr1 = 5 mr2 = 10 m
β2 = dB
4.파동, 소리, 광학어려움
f1​ = 20 cmf2​ = 5 cm18 cm25 cm

얇은 렌즈 두 개가 같은 축 위에 25 cm 떨어져 있다. 렌즈 1은 f₁ = 20 cm, 렌즈 2는 f₂ = 5 cm이다. 물체가 렌즈 1 앞 18 cm에 서 있다. 렌즈 2에서 잰 최종 상의 위치 di2을(를) 구하시오(렌즈 2 뒤쪽이 양수이며, 실상이 양수인 규약).

f1 = 20 cmf2 = 5 cms = 25 cmdo = 18 cm
di2 = cm

3용액

1.용수철과 진자

답: L = 1.811 m

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

길이 구하기

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.7/2π)² = 1.811 m

답

L = 1.811 m
2.용수철과 진자

답: A = 1.62 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

충돌 후의 속력

V = m·v/(m + M) = 0.005·200/2.005 = 0.4988 m/s

각주파수

ω = √(k/(m + M)) = √(1900/2.005) = 30.78 rad/s

진폭

A = V/ω = 0.4988/30.78 = 0.0162 m = 1.62 cm

답

A = 1.62 cm
3.파동, 소리, 광학

답: β2 = 63.98 dB

파동: 주기적인 파동은 한 주기에 한 파장을 이동하므로 v = fλ이고 T = 1/f입니다. 팽팽한 줄에서는 v = √(T/μ)이며, T는 장력, μ = m/L은 1미터당 질량입니다. 공기 중의 소리는 20 °C에서 약 343 m/s로, 진공 중의 빛은 c = 3.00 × 10⁸ m/s로 진행합니다. 소리의 크기는 로그 눈금으로 측정합니다: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, I₀ = 10⁻¹² W/m²이므로 세기가 10배가 되면 10 dB가 늘어납니다. 점음원은 일률 P를 구면 위로 퍼뜨립니다: I = P/(4πr²).

세기의 비

I₂/I₁ = (5/10)² = 0.25

새로운 수준

β₂ = 70 + 10·log₁₀(0.25) = 63.98 dB

답

β2 = 63.98 dB

거리가 두 배가 될 때마다 수준이 약 6 dB씩 낮아집니다.

4.파동, 소리, 광학

답: di2 = 5.125 cm

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θc = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/do + 1/di를 따르며 배율은 m = −di/do입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 di > 0, 허상은 di < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

렌즈 1의 상

1/di1 = 1/20 − 1/18 → di1 = −180 cm

렌즈 2의 물체

do2 = 25 − (−180) = 205 cm

최종 상

1/di2 = 1/5 − 1/205 → di2 = 5.125 cm

답

di2 = 5.125 cm

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