AP Calculus uždaviniai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ribos

Tiesioginis įstatymas: pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje: dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Lopitalio taisyklė: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Optimizavimas

Metodas: užrašykite Q(x) su vienu kintamuoju, išspręskite Q′(x) = 0, patikrinkite Q″ arba intervalo galus
Maksimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Uždaras cilindras: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Pelnas: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Sekos ir eilutės

Aritmetinė seka: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys: R = lim |c_k/c_k+1|
Teiloro polinomas: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagranžo paklaidos įvertis: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodas

Nustatykite tipą: aritmetinė (pastovus skirtumas), geometrinė (pastovus daugiklis), standartinė eilutė, laipsninė eilutė arba Teiloro polinomas.
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Uždaviniai

1.RibosVidutinis

Raskite ribą L = lim_x→∞ (−3x² − x − 8)/(2x² + 4x + 6).

f(x) = (−3x² − x − 8)/(2x² + 4x + 6)x → ∞

L =

2.RibosSunkus

Raskite ribą L = lim_x→0 (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0

L =

3.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = ln(x² + 5). Raskite f′(2).

f(x) = ln(x² + 5)x = 2

f′(2) =

4.IšvestinėsSunkus

Funkcijos f(x) = −x² + x + 2 liestinė taške x = 3 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = −x² + x + 2x = 3

b =

5.OptimizavimasVidutinis

450 m² stačiakampis sklypas aptveriamas iš visų keturių pusių. Gatvės pusės, kurios ilgis x, tvora kainuoja €40 už metrą; kitų trijų pusių – €10 už metrą. Raskite mažiausią bendrą kainą C.

A = 450 m²€40/m€10/m

C = €

6.OptimizavimasSunkus

Įmonė per savaitę parduoda q vienetų. Kaina, už kurią juos galima parduoti, yra p = 120 − 0,5q eurų už vienetą, o sąnaudos C(q) = 200 + 90q eurų. Raskite kainą p, kuriai esant pelnas didžiausias.

p = 120 − 0,5qC = 200 + 90q

p = €

7.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₁^2,5 x·ln x dx.

∫₁^2,5 x ln x dx

I =

8.IntegralaiSunkus

Raskite srities tarp parabolės y = 1 − x² ir x ašies plotą A.

y = 1 − x²

A =

9.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 5y′ + 4y = 0, kai y(0) = 4 ir y′(0) = -4. Raskite y(2).

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 4y′(0) = -4

y(2) =

10.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite Koši uždavinį y′ + y/x = 1, kai x > 0, su y(1) = 5. Raskite y(3).

y′ + y/x = 1y(1) = 5

y(3) =

11.Sekos ir eilutėsVidutinis

Raskite sumą S = Σ_k=1^∞ 4/(k(k + 4)).

a_k = 4/(k(k + 4))

S =

12.Sekos ir eilutėsSunkus

Raskite koeficientą c₄ prie (x − 1)⁴ funkcijos f(x) = √x Teiloro eilutėje taško a = 1 aplinkoje.

f(x) = √xa = 1k = 4

c₄ =

3Tirpalai

1.Ribos

Atsakymas: L = −1,5

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Padalykite iš aukščiausio laipsnio

(−3 + (−1)/x + (−8)/x²)/(2 + 4/x + 6/x²)

Tegu x → ∞

L = −3/2 = −1,5

Atsakymas

L = −1,5

Kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui.

2.Ribos

Atsakymas: L = 0,125

Pirmasis taikymas

(0,5·e^0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Antrasis taikymas

0,25·e^0,5x/2

Įstatykite x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Atsakymas

L = 0,125

3.Išvestinės

Atsakymas: f′(2) = 0,4444

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Grandinės taisyklė logaritmui

f′(x) = 2x/(x² + 5)

Įstatykite

f′(2) = 4/9 = 0,4444

Atsakymas

f′(2) = 0,4444

4.Išvestinės

Atsakymas: b = 11

Taškas ir krypties koeficientas

f(3) = −4

f′(x) = −2x + 1 → f′(3) = −5

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −4 − (−5)·3 = 11

Atsakymas

b = 11

5.Optimizavimas

Atsakymas: C = 1342 €

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Kaina kaip x funkcija

C(x) = 50x + 9000/x

Prilyginkite išvestinę nuliui

C″(x) = 18000/x³ > 0, todėl tai minimumas.

x = √(9000/50) = 13,42 m

y = 450/13,42 = 33,54 m

Mažiausia kaina

C = 50·13,42 + 9000/13,42 = €1342

Atsakymas

C = €1342

6.Optimizavimas

Atsakymas: p = 105 €

Pelno funkcija

P(q) = (120 − 0,5q)·q − (200 + 90q) = −0,5q² + 30q − 200

Prilyginkite išvestinę nuliui

P″(q) = −1 < 0, todėl tai maksimumas.

q = 30/1 = 30

Kaina ir pelnas

p = 120 − 0,5·30 = €105

P = 30·30 − 0,5·30² − 200 = €250

Atsakymas

p = €105

7.Integralai

Atsakymas: I = 1,551

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Pirmykštė funkcija

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Ribos

(3,125·ln 2,5 − 1,5625) − (0 − 0,25) = 1,551

Atsakymas

I = 1,551

8.Integralai

Atsakymas: A = 1,333

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Nuliai

1 − x² = 0 → x = ±1

Integruokite

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Atsakymas

A = 1,333

9.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(2) = 0,5413

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Charakteristinės šaknys

(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4

Konstantos pagal pradines vertes

A + B = 4, −1A − 4B = -4

A = 4, B = 0

Apskaičiuokite

y(2) = 4·e⁻² + 0·e⁻⁸ = 0,5413

Atsakymas

y(2) = 0,5413

10.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(3) = 3

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Integruojantysis daugiklis

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integruokite

(x¹y)′ = x → x¹y = 1x²/2 + C

Pradinė sąlyga

5 = 1/2 + C → C = 4,5

Apskaičiuokite

y(3) = (1·3²/2 + 4,5)/3¹ = 3

Atsakymas

y(3) = 3

11.Sekos ir eilutės

Atsakymas: S = 2,083

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σc_k(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |c_k/c_k+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Paprastosios trupmenos

4/(k(k + 4)) = (4/4)·(1/k − 1/(k + 4))

Atšaukti

S = (4/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 2,083

Atsakymas

S = 2,083

12.Sekos ir eilutės

Atsakymas: c₄ = −0,03906

Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.

Išvestinė f⁽⁴⁾

f⁽⁴⁾(x) = −0,9375·x^{1/2 − 4}

Koeficientas

c₄ = −0,9375·1^{1/2 − 4}/4! = −0,03906

c₄ = −0,03906

Atsakymas

c₄ = −0,03906

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice