AP Calculus uždaviniai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ribos

Tiesioginis įstatymas: pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje: dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Lopitalio taisyklė: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Optimizavimas

Metodas: užrašykite Q(x) su vienu kintamuoju, išspręskite Q′(x) = 0, patikrinkite Q″ arba intervalo galus
Maksimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Uždaras cilindras: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Pelnas: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Sekos ir eilutės

Aritmetinė seka: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys: R = lim |c_k/c_k+1|
Teiloro polinomas: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagranžo paklaidos įvertis: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodas

Nustatykite tipą: aritmetinė (pastovus skirtumas), geometrinė (pastovus daugiklis), standartinė eilutė, laipsninė eilutė arba Teiloro polinomas.
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Uždaviniai

1.RibosVidutinis

Raskite ribą L = lim_x→∞ (√(x² − 3x) − x).

f(x) = √(x² − 3x) − xx → ∞

L =

2.RibosSunkus

Raskite ribą L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(2x²), kai x radianais.

f(x) = (1 − cos 2x)/(2x²)x → 0

L =

3.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·sin(3x), x radianais. Raskite f′(1,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ − 3x − 2. Raskite lokaliojo minimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ − 3x − 2

x =

5.OptimizavimasVidutinis

Atvira dėžė (be dangčio) kvadratiniu dugnu turi talpinti 4000 cm³. Sunaudokite kuo mažiau medžiagos, t. y. dugno ir keturių šonų plotas turi būti mažiausias. Raskite dugno kraštinę x.

V = 4000 cm³

x = cm

6.OptimizavimasSunkus

Maža įmonė savo produktą parduoda už pastovią rinkos kainą €50 už vienetą. q vienetų gamybos sąnaudos C(q) = 1100 + 38q + 0,02q² eurų. Raskite gamybos apimtį q, kuriai esant pelnas didžiausias.

p = €50C = 1100 + 38q + 0,02q²

q = vnt.

7.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₁⁵ 5/x dx.

f(x) = 5/x[1, 5]

I =

8.IntegralaiSunkus

Raskite srities, apribotos y = 2x² ir y = 4x, plotą A.

y = 2x²y = 4x

A =

9.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 3y′ + 2y = 0, kai y(0) = 2 ir y′(0) = 0. Raskite y(1).

y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(1) =

10.Diferencialinės lygtysSunkus

Talpoje yra 100 L gryno vandens. Sūrymas, kurio litre yra 0,1 kg druskos, įteka 5 L/min greičiu, o gerai išmaišytas tirpalas tokiu pat greičiu išteka. Kiek druskos m bus talpoje po 20 min?

V = 100 Lm₀ = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

11.Sekos ir eilutėsVidutinis

Taikykite d’Alambero kriterijų eilutei Σ_k=1^∞ kᵏ/(3ᵏ·k!). Raskite L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = kᵏ/(3ᵏ·k!)

L =

12.Sekos ir eilutėsSunkus

f(x) = sin x aproksimuojama 4 laipsnio Maklorino polinomu taške x = 0,8. Naudodami Lagranžo paklaidos įvertį M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! su M = 1, raskite didžiausią galimą paklaidą |R₄|.

f(x) = sin xn = 4x = 0,8M = 1

|R₄| =

3Tirpalai

1.Ribos

Atsakymas: L = −1,5

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Padauginkite iš jungtinio reiškinio

f(x) = −3x/(√(x² − 3x) + x)

Padalykite iš x

f(x) = −3/(√(1 + (−3)/x) + 1)

Tegu x → ∞

L = −3/(1 + 1) = −1,5

Atsakymas

L = −1,5

2.Ribos

Atsakymas: L = 1

Pirmasis taikymas

2·sin 2x/(4x) → 0/0

Antrasis taikymas

4·cos 2x/4

Įstatykite x = 0

L = 4/4 = 1

Atsakymas

L = 1

3.Išvestinės

Atsakymas: f′(1.5) = −1,926

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos ir grandinės taisyklės

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Įstatykite

f′(1,5) = −0,9775 + 4,5·(−0,2108) = −1,926

Atsakymas

f′(1,5) = −1,926

4.Išvestinės

Atsakymas: x = 1

Išvestinė

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −1 arba x = 1

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = 1

Atsakymas

x = 1

5.Optimizavimas

Atsakymas: x = 20 cm

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Plotas kaip x funkcija

S(x) = x² + 16000/x

Prilyginkite išvestinę nuliui

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0, todėl tai minimumas.

x³ = 8000 → x = 20 cm

Aukštis ir plotas

h = 4000/20² = 10 cm

S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

Atsakymas

x = 20 cm

Geriausios atviros dėžės aukštis lygus pusei jos pločio.

6.Optimizavimas

Atsakymas: q = 300 vnt.

Pelno funkcija

P(q) = 50q − (1100 + 38q + 0,02q²) = −0,02q² + 12q − 1100

Prilyginkite išvestinę nuliui

P″(q) = −0,04 < 0, todėl tai maksimumas.

12 − 0,04q = 0 → q = 300

Didžiausias pelnas

P = 12·300 − 0,02·300² − 1100 = €700

Atsakymas

q = 300

7.Integralai

Atsakymas: I = 8,047

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = 5·ln x

Įstatykite rėžius

I = 5·(ln 5 − ln 1) = 5·ln 5 = 8,047

Atsakymas

I = 8,047

8.Integralai

Atsakymas: A = 2,667

Susikirtimo taškai

2x² = 4x → x = 0, x = 2

Integruokite viršutinę minus apatinę

A = [2x² − 0,6667x³]₀² = 2,667

Atsakymas

A = 2,667

9.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1) = 1,201

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Charakteristinės šaknys

(r + 1)(r + 2) = 0 → r = −1, −2

Konstantos pagal pradines vertes

A + B = 2, −1A − 2B = 0

A = 4, B = −2

Apskaičiuokite

y(1) = 4·e⁻¹ + (−2)·e⁻² = 1,201

Atsakymas

y(1) = 1,201

10.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: m = 6,321 kg

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Sudarykite lygtį

dm/dt = 5·0,1 − (5/100)·m = 0,5 − 0,05·m

Išspręskite

Integruojantysis daugiklis yra e^rt/V; sprendinys artėja prie pusiausvyrinės reikšmės c·V.

m(t) = 10 + (−10)·e^−t/20

Įstatykite t

m(20) = 10 + (−10)·0,3679 = 6,321 kg

Atsakymas

m = 6,321 kg

11.Sekos ir eilutės

Atsakymas: L = 0,9061

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σc_k(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |c_k/c_k+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Gretimų narių santykis

|a_k+1/a_k| = (1 + 1/k)ᵏ/3 → e/3

Išvada

L = 0,9061 < 1

Atsakymas

L = 0,9061

L < 1, todėl eilutė konverguoja.

12.Sekos ir eilutės

Atsakymas: |R₄| = 0,002731

Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.

Išvestinės įvertis

M = 1

Lagranžo įvertis

|R₄| ≤ 1·0,8⁵/5! = 0,002731

Atsakymas

|R₄| = 0,002731

Tikroji paklaida mažesnė: |f(0,8) − P₄(0,8)| = 0,002689.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice