AP Calculus uždaviniai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ribos

Tiesioginis įstatymas: pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje: dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Lopitalio taisyklė: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Optimizavimas

Metodas: užrašykite Q(x) su vienu kintamuoju, išspręskite Q′(x) = 0, patikrinkite Q″ arba intervalo galus
Maksimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Uždaras cilindras: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Pelnas: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Sekos ir eilutės

Aritmetinė seka: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys: R = lim |c_k/c_k+1|
Teiloro polinomas: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagranžo paklaidos įvertis: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodas

Nustatykite tipą: aritmetinė (pastovus skirtumas), geometrinė (pastovus daugiklis), standartinė eilutė, laipsninė eilutė arba Teiloro polinomas.
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Uždaviniai

1.RibosVidutinis

Raskite ribą L = lim_x→∞ (x³ − 2x + 1)/(x³ + 3x + 8).

f(x) = (x³ − 2x + 1)/(x³ + 3x + 8)x → ∞

L =

2.RibosSunkus

Raskite ribą L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(4x²), kai x radianais.

f(x) = (1 − cos 4x)/(4x²)x → 0

L =

3.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = ln(x² + 2). Raskite f′(3).

f(x) = ln(x² + 2)x = 3

f′(3) =

4.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ + 1,5x² + 5. Raskite lokaliojo maksimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ + 1,5x² + 5

x =

5.OptimizavimasVidutinis

800 m² stačiakampis sklypas aptveriamas iš visų keturių pusių. Gatvės pusės, kurios ilgis x, tvora kainuoja €25 už metrą; kitų trijų pusių – €5 už metrą. Raskite mažiausią bendrą kainą C.

A = 800 m²€25/m€5/m

C = €

6.OptimizavimasSunkus

Maža įmonė savo produktą parduoda už pastovią rinkos kainą €75 už vienetą. q vienetų gamybos sąnaudos C(q) = 2100 + 62q + 0,01q² eurų. Raskite didžiausią pelną P.

p = €75C = 2100 + 62q + 0,01q²

P = €

7.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀^π x·sin x dx (x radianais).

∫₀^π x·sin x dx

I =

8.IntegralaiSunkus

Raskite srities tarp parabolės y = 1 − x² ir x ašies plotą A.

y = 1 − x²

A =

9.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 8y′ + 16y = 0, kai y(0) = 5 ir y′(0) = 1. Raskite y(2).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 5y′(0) = 1

y(2) =

10.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite Koši uždavinį y′ + y/x = 3x², kai x > 0, su y(1) = −1. Raskite y(2).

y′ + y/x = 3x²y(1) = −1

y(2) =

11.Sekos ir eilutėsVidutinis

Taikykite d’Alambero kriterijų eilutei Σ_k=1^∞ 2ᵏ·k!/kᵏ. Raskite L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = 2ᵏ·k!/kᵏ

L =

12.Sekos ir eilutėsSunkus

Raskite koeficientą c₂ prie (x + 1)² funkcijos f(x) = e^3x Teiloro eilutėje taško a = −1 aplinkoje.

f(x) = e^3xa = −1k = 2

c₂ =

3Tirpalai

1.Ribos

Atsakymas: L = 1

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Padalykite iš aukščiausio laipsnio

(1 + (−2)/x² + 1/x³)/(1 + 3/x² + 8/x³)

Tegu x → ∞

L = 1/1 = 1

Atsakymas

L = 1

Kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui.

2.Ribos

Atsakymas: L = 2

Pirmasis taikymas

4·sin 4x/(8x) → 0/0

Antrasis taikymas

16·cos 4x/8

Įstatykite x = 0

L = 16/8 = 2

Atsakymas

L = 2

3.Išvestinės

Atsakymas: f′(3) = 0,5455

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Grandinės taisyklė logaritmui

f′(x) = 2x/(x² + 2)

Įstatykite

f′(3) = 6/11 = 0,5455

Atsakymas

f′(3) = 0,5455

4.Išvestinės

Atsakymas: x = −1

Išvestinė

f′(x) = 3x² + 3x = 3·(x² + x)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −1 arba x = 0

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x + 3: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−1) = −3, f″(0) = 3

x = −1

Atsakymas

x = −1

5.Optimizavimas

Atsakymas: C = 979,8 €

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Kaina kaip x funkcija

C(x) = 30x + 8000/x

Prilyginkite išvestinę nuliui

C″(x) = 16000/x³ > 0, todėl tai minimumas.

x = √(8000/30) = 16,33 m

y = 800/16,33 = 48,99 m

Mažiausia kaina

C = 30·16,33 + 8000/16,33 = €979,8

Atsakymas

C = €979,8

6.Optimizavimas

Atsakymas: P = 2125 €

Pelno funkcija

P(q) = 75q − (2100 + 62q + 0,01q²) = −0,01q² + 13q − 2100

Prilyginkite išvestinę nuliui

P″(q) = −0,02 < 0, todėl tai maksimumas.

13 − 0,02q = 0 → q = 650

Didžiausias pelnas

P = 13·650 − 0,01·650² − 2100 = €2125

Atsakymas

P = €2125

7.Integralai

Atsakymas: I = 3,142

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Pirmykštė funkcija

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Ribos

(−π·cos π + sin π) − (0 + 0) = 3,142

Atsakymas

I = 3,142

8.Integralai

Atsakymas: A = 1,333

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Nuliai

1 − x² = 0 → x = ±1

Integruokite

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Atsakymas

A = 1,333

9.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(2) = 0,01577

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Dviguba šaknis

(r + 4)² = 0 → r = −4

Konstantos

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 4A → B = 1 + 20 = 21

Apskaičiuokite

y(2) = (5 + 21·2)·e⁻⁸ = 0,01577

Atsakymas

y(2) = 0,01577

10.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(2) = 5,125

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Integruojantysis daugiklis

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integruokite

(x¹y)′ = 3x³ → x¹y = 3x⁴/4 + C

Pradinė sąlyga

−1 = 3/4 + C → C = −1,75

Apskaičiuokite

y(2) = (3·2⁴/4 + (−1,75))/2¹ = 5,125

Atsakymas

y(2) = 5,125

11.Sekos ir eilutės

Atsakymas: L = 0,7358

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σc_k(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |c_k/c_k+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Gretimų narių santykis

|a_k+1/a_k| = 2·(k/(k + 1))ᵏ = 2/(1 + 1/k)ᵏ → 2/e

Išvada

L = 0,7358 < 1

Atsakymas

L = 0,7358

L < 1, todėl eilutė konverguoja.

12.Sekos ir eilutės

Atsakymas: c₂ = 0,224

Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.

Išvestinė f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = 3²·e^3x

Koeficientas

c₂ = 3²·e⁻³/2! = 0,224

c₂ = 0,224

Atsakymas

c₂ = 0,224

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice