AP Calculus uždaviniai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ribos

Tiesioginis įstatymas: pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje: dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Lopitalio taisyklė: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Optimizavimas

Metodas: užrašykite Q(x) su vienu kintamuoju, išspręskite Q′(x) = 0, patikrinkite Q″ arba intervalo galus
Maksimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Uždaras cilindras: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Pelnas: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Sekos ir eilutės

Aritmetinė seka: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys: R = lim |c_k/c_k+1|
Teiloro polinomas: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagranžo paklaidos įvertis: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodas

Nustatykite tipą: aritmetinė (pastovus skirtumas), geometrinė (pastovus daugiklis), standartinė eilutė, laipsninė eilutė arba Teiloro polinomas.
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Uždaviniai

1.RibosVidutinis

Raskite ribą L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^x. Pateikite dešimtainę reikšmę.

f(x) = (1 + 1/x)^xx → ∞

L =

2.RibosSunkus

Raskite ribą L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(2x²), kai x radianais.

f(x) = (1 − cos 2x)/(2x²)x → 0

L =

3.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·sin(3x), x radianais. Raskite f′(2).

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

4.IšvestinėsSunkus

Funkcijos f(x) = −x² + 2x + 2 liestinė taške x = −2 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = −x² + 2x + 2x = −2

b =

5.OptimizavimasVidutinis

Uždara cilindrinė skardinė (su viršumi ir dugnu) turi talpinti 500 cm³. Sunaudojamo metalo kiekis proporcingas visam paviršiaus plotui. Raskite spindulį r, kuriam esant sunaudojama mažiausiai medžiagos.

V = 500 cm³

r = cm

6.OptimizavimasSunkus

Teatras per spektaklį parduoda 2160 bilietų po €25. Rinkos tyrimas rodo, kad kiekvienas bilieto kainos padidinimas €1 reiškia 40 mažiau parduotų bilietų (o kiekvienas sumažinimas €1 – 40 daugiau). Raskite didžiausias pajamas R per spektaklį.

2160 × €2540 / €1

R = €

7.IntegralaiVidutinis

Sritis po y = 2x nuo x = 0 iki x = 3 sukama apie x ašį. Raskite kūno (kūgio) tūrį V.

y = 2x0 ≤ x ≤ 3

V =

8.IntegralaiSunkus

Sritis tarp tiesės y = 5x ir parabolės y = 3x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 5xy = 3x²

V =

9.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 2y′ + y = 0, kai y(0) = 1 ir y′(0) = 1. Raskite y(1).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 1y′(0) = 1

y(1) =

10.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite Koši uždavinį y′ + 2y/x = 1, kai x > 0, su y(1) = 2. Raskite y(3).

y′ + 2y/x = 1y(1) = 2

y(3) =

11.Sekos ir eilutėsVidutinis

Raskite sumą S = Σ_k=1^∞ 5/(k(k + 3)).

a_k = 5/(k(k + 3))

S =

12.Sekos ir eilutėsSunkus

f(x) = ln(1 + x) aproksimuojama 2 laipsnio Maklorino polinomu taške x = 0,1. Naudodami Lagranžo paklaidos įvertį M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! su M = 2! = 2, raskite didžiausią galimą paklaidą |R₂|.

f(x) = ln(1 + x)n = 2x = 0,1M = 2

|R₂| =

3Tirpalai

1.Ribos

Atsakymas: L = 2,718

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Logaritmuokite

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x)

Apskaičiuokite

ln(1 + u)/u → 1, kai u → 0, todėl x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

Grįžkite nuo logaritmo

L = e¹ = 2,718

Atsakymas

L = 2,718

2.Ribos

Atsakymas: L = 1

Pirmasis taikymas

2·sin 2x/(4x) → 0/0

Antrasis taikymas

4·cos 2x/4

Įstatykite x = 0

L = 4/4 = 1

Atsakymas

L = 1

3.Išvestinės

Atsakymas: f′(2) = 5,482

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos ir grandinės taisyklės

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Įstatykite

f′(2) = −0,2794 + 6·0,9602 = 5,482

Atsakymas

f′(2) = 5,482

4.Išvestinės

Atsakymas: b = 6

Taškas ir krypties koeficientas

f(−2) = −6

f′(x) = −2x + 2 → f′(−2) = 6

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −6 − 6·(−2) = 6

Atsakymas

b = 6

5.Optimizavimas

Atsakymas: r = 4,301 cm

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Plotas kaip r funkcija

h = 500/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1000/r

Prilyginkite išvestinę nuliui

A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0, todėl tai minimumas.

4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4,301 cm

Aukštis ir plotas

h = 500/(π·4,301²) = 2r = 8,603 cm

A = 2π·4,301² + 1000/4,301 = 348,7 cm²

Atsakymas

r = 4,301 cm

Pigiausios uždaros skardinės aukštis lygus jos pločiui: h = 2r.

6.Optimizavimas

Atsakymas: R = 62410 €

Pajamos kaip kainos funkcija

n(p) = 3160 − 40p

R(p) = 3160p − 40p²

Prilyginkite išvestinę nuliui

R″(p) = −80 < 0, todėl tai maksimumas.

p = 3160/80 = €39,5

Didžiausios pajamos

n = 3160 − 40·39,5 = 1580

R = 39,5·1580 = €62410

Atsakymas

R = €62410

7.Integralai

Atsakymas: V = 113,1

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Skritulių metodas

V = π∫₀³ 4x² dx

Integruokite

V = π·4·3³/3 = 113,1

Atsakymas

V = 113,1

Patikra: kūgio, kurio spindulys 6 ir aukštis 3, tūris (1/3)πr²h = 113,1.

8.Integralai

Atsakymas: V = 48,48

Susikirtimo taškai

5x = 3x² → x = 0, x = 1,667

Žiedų metodas

V = π∫₀^1,667 ((5x)² − (3x²)²) dx

Integruokite

V = π(25·1,667³/3 − 9·1,667⁵/5) = π·15,43 = 48,48

Atsakymas

V = 48,48

9.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1) = 1,104

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Dviguba šaknis

(r + 1)² = 0 → r = −1

Konstantos

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 1A → B = 1 + 1 = 2

Apskaičiuokite

y(1) = (1 + 2·1)·e⁻¹ = 1,104

Atsakymas

y(1) = 1,104

10.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(3) = 1,185

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Integruojantysis daugiklis

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Integruokite

(x²y)′ = x² → x²y = 1x³/3 + C

Pradinė sąlyga

2 = 1/3 + C → C = 1,667

Apskaičiuokite

y(3) = (1·3³/3 + 1,667)/3² = 1,185

Atsakymas

y(3) = 1,185

11.Sekos ir eilutės

Atsakymas: S = 3,056

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σc_k(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |c_k/c_k+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Paprastosios trupmenos

5/(k(k + 3)) = (5/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Atšaukti

S = (5/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 3,056

Atsakymas

S = 3,056

12.Sekos ir eilutės

Atsakymas: |R₂| = 0,0003333

Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.

Išvestinės įvertis

M = 2! = 2

Lagranžo įvertis

|R₂| ≤ 2·0,1³/3! = 0,0003333

Atsakymas

|R₂| = 0,0003333

Tikroji paklaida mažesnė: |f(0,1) − P₂(0,1)| = 0,0003102.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice