AP Statistics uždaviniai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 47, 50, 21, 53, 19, 51.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 82?

μ = 100σ = 12x = 82

P =

3.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 8 raudoni ir 7 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

8 / 7

P =

4.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €1. Laimite €5 su tikimybe 0,2 ir €10 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €1€5: p = 0,2€10: p = 0,02

E(G) = €

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,0392. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,0392

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 10 % reikšmių (10-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (11, 43). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(11, 43)

e =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

13 elementų imties vidurkis – 107,5, standartinis nuokrypis s = 10,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 13x̄ = 107,5s = 10,595%t(12) = 2,179

E =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 36. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5?

σ = 36E = 1,599%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

64 studentų imties vidutinis rezultatas – 75,6, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 75,6s = 4n = 64

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

81 matavimų imties vidurkis – 119,9. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 119,9σ = 5n = 8195%

L =

13.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „studentai, automobilis“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 71stulpelio suma = 27N = 138

E =

14.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 3 eilutes ir 5 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

3 × 5

df =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 15,75

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 241/6 = 40,17

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 6,833² + 9,833² + (−19,17)² + 12,83² + (−21,17)² + 10,83² = 1241

Standartinis nuokrypis

s = √(1241/5) = 15,75

Atsakymas

s = 15,75

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,06681

Standartizuokite

z = −1,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Atsakymas

P = 0,06681

3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2667

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0,2667

Atsakymas

P = 0,2667

4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 0,2 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 4 (p = 0,2), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,78)

Laukiamoji vertė

E(G) = 4·0,2 + 9·0,02 − 1·0,78 = 0,2 €

Atsakymas

E(G) = 0,2 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,76

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,0392 = 0,9608

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9608 ir nuskaitykite z.

z = 1,76

Atsakymas

z = 1,76

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 169 cm

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Atgal į x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Atsakymas

x = 169,03 cm

7.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9491

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 122/6 = 20,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 73,33

Koreliacijos koeficientas

r = −34/√(17,5·73,33) = −0,9491

Atsakymas

r = −0,9491

8.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −3,562

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 182/6 = 30,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 284

Regresijos tiesė

b = 284/70 = 4,057

a = 30,33 − 4,057·7 = 1,933

ŷ = 1,933 + 4,057·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 1,933 + 4,057·11 = 46,56

Liekana

e = 43 − 46,56 = −3,562

Atsakymas

e = −3,562

Taškas yra po tiese.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 6,346

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 12, t = 2,179

Paklaidos riba

E = 2,179·10,5/√13 = 6,346

Atsakymas

E = 6,346

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 3823

Išreikškite n

n = (2,576·36/1,5)² = 3822

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 3823

Atsakymas

n = 3823

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,2

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5

Testo statistika

t = (75,6 − 75)/0,5 = 1,2

Atsakymas

t = 1,2

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 118,8

Paklaidos riba

E = 1,96·5/√81 = 1,089

Intervalo rėžis

L = 119,9 − 1,089 = 118,8

Atsakymas

L = 118,8

13.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 13,89

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 71·27/138 = 13,89

Atsakymas

E = 13,89

14.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 8

Laisvės laipsniai

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

Atsakymas

df = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice