AP Statistics uždaviniai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 25, 34, 29, 52, 38.

n = 5

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 75. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 425?

μ = 500σ = 75x = 425

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,05, 0,1, 0,2

σ =

4.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €2. Laimite €10 su tikimybe 0,25 ir €40 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €2€10: p = 0,25€40: p = 0,02

E(G) = €

5.Normalusis skirstinysVidutinis

keleiviai su bagažu masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 85 kg, standartinis nuokrypis 12 kg. Raskite tikimybę P, kad 8 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 713,9 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8< 713.9 kg

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 97,5 % reikšmių (97,5-asis procentilis).

μ = 32σ = 6P = 97,5%

x = min

7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (25, 135). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(25, 135)

e =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

10 elementų imties vidurkis – 42,5, standartinis nuokrypis s = 13,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 10x̄ = 42,5s = 13,590%t(9) = 1,833

E =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 16. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?

σ = 16E = 490%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 10 studentų, vidutinis rezultatas 60, standartinis nuokrypis 8. 2 grupė: 11 studentų, vidutinis rezultatas 62,6, standartinis nuokrypis 11,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 10x̄₁ = 60s₁ = 8n₂ = 11x̄₂ = 62,6s₂ = 11,5

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas H₀: μ = 100 prieš H₁: μ > 100 atliekamas, kai α = 0,01, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 3. Iš tikrųjų vidurkis lygus 101,9. Raskite testo galią 1 − β procentais.

μ₀ = 100μ = 101,9σ = 3n = 36α = 0,01

1 − β = %

13.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „darbuotojai, dviratis“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 105stulpelio suma = 53N = 184

E =

14.Chi kvadrato testaiSunkus

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2403 × 2α = 0,05

χ² =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 10,41

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 178/5 = 35,6

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−10,6)² + (−1,6)² + (−6,6)² + 16,4² + 2,4² = 433,2

Standartinis nuokrypis

s = √(433,2/4) = 10,41

Atsakymas

s = 10,41

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,1587

Standartizuokite

z = −1

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Atsakymas

P = 0,1587

3.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,499

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,05 + 3·0,1 + 4·0,2 = 1,55

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,05 + 9·0,1 + 16·0,2 = 4,65

Dispersija

Var(X) = 4,65 − 1,55² = 2,248

σ = √2,248 = 1,499

Atsakymas

σ = 1,499

4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 1,3 €

Grynosios baigtys

G: 8 (p = 0,25), 38 (p = 0,02), −2 (p = 0,73)

Laukiamoji vertė

E(G) = 8·0,25 + 38·0,02 − 2·0,73 = 1,3 €

Atsakymas

E(G) = 1,3 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8413

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 680 kg, σ_T = 12·√8 = 33,94 kg

Standartizuokite

z = (713,9 − 680)/33,94 = 1

Tikimybė

P = Φ(1) = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 43,76 min

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Atgal į x

x = 32 + 1,96·6 = 43,76 min

Atsakymas

x = 43,76 min

7.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,8937

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 317/6 = 52,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 83,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 498,8

Koreliacijos koeficientas

r = 83,5/√(17,5·498,8) = 0,8937

Atsakymas

r = 0,8937

8.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −2,167

Vidurkiai

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 745/6 = 124,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 455

Regresijos tiesė

b = 455/70 = 6,5

a = 124,2 − 6,5·23 = −25,33

ŷ = −25,33 + 6,5·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = −25,33 + 6,5·25 = 137,2

Liekana

e = 135 − 137,2 = −2,167

Atsakymas

e = −2,167

Taškas yra po tiese.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 7,825

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 9, t = 1,833

Paklaidos riba

E = 1,833·13,5/√10 = 7,825

Atsakymas

E = 7,825

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 44

Išreikškite n

n = (1,645·16/4)² = 43,3

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 44

Atsakymas

n = 44

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −0,5953

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (9·8² + 10·11,5²)/19 = 99,92

s_p = 9,996

Standartinė paklaida

SE = 9,996·√(1/10 + 1/11) = 4,368

Testo statistika

t = (60 − 62,6)/4,368 = −0,5953

Atsakymas

t = −0,5953

Kai df = 19, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,093; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: 1 − β = 92,98 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 3/√36 = 0,5

x̄_c = 100 + 2,326·0,5 = 101,2

z esant tikrajam vidurkiui

z = (101,2 − 101,9)/0,5 = −1,474

Galia

galia = P(Z > −1,474) = 92,98%

1 − β = 92,98%

Atsakymas

1 − β = 92,98%

13.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 30,24

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 105·53/184 = 30,24

Atsakymas

E = 30,24

14.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 0,9643

Tikėtini dažniai

gamykla A: 18, 42

gamykla B: 30, 70

gamykla C: 24, 56

Chi kvadrato statistika

χ² = (21 − 18)²/18 + (39 − 42)²/42 + (28 − 30)²/30 + (72 − 70)²/70 + (23 − 24)²/24 + (57 − 56)²/56

χ² = 0,9643

Sprendimas

df = 2, χ²_crit = 5,991

0,9643 < 5,991

Atsakymas

χ² = 0,9643

χ² mažesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ neatmetama: reikšmingų ryšio įrodymų nėra.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice