AP Statistics uždaviniai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 43, 33, 25, 46, 11, 44, 37.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 60?

μ = 70σ = 20x = 60

P =

3.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 8 žmonių grupės galima išrinkti 2 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 8k = 2

N =

4.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €2. Laimite €6 su tikimybe 0,25 ir €100 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €2€6: p = 0,25€100: p = 0,02

E(G) = €

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9715. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9715

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 70 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g70%

x = g

7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 36Σy = 461Σx² = 286Σy² = 36883Σxy = 3085

r =

8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 17,5.

n = 5x = 17,5

ŷ =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 50 telefonų, vidurkis 53,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 12 h. 2 modelis: 80 telefonų, vidurkis 65,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 8 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 50x̄₁ = 53,5 hσ₁ = 12 hn₂ = 80x̄₂ = 65,5 hσ₂ = 8 h90%

E = h

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,04?

p = 0,5E = 0,0499%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 494,8, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 494,8s = 8n = 16

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas H₀: μ = 200 prieš H₁: μ < 200 atliekamas, kai α = 0.05, su 100 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 30. Iš tikrųjų vidurkis lygus 195.5. Raskite II rūšies klaidos tikimybę β procentais.

μ₀ = 200μ = 195,5σ = 30n = 100α = 0,05

β = %

13.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „darbuotojai, automobilis“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 75stulpelio suma = 74N = 157

E =

14.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 5 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

2 × 5

df =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 12,55

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 239/7 = 34,14

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 8,857² + (−1,143)² + (−9,143)² + 11,86² + (−23,14)² + 9,857² + 2,857² = 944,9

Standartinis nuokrypis

s = √(944,9/6) = 12,55

Atsakymas

s = 12,55

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,6915

Standartizuokite

z = −0,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Atsakymas

P = 0,6915

3.Tikimybė

Atsakymas: N = 28

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28

Atsakymas

N = 28

4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 1,5 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 4 (p = 0,25), 98 (p = 0,02), −2 (p = 0,73)

Laukiamoji vertė

E(G) = 4·0,25 + 98·0,02 − 2·0,73 = 1,5 €

Atsakymas

E(G) = 1,5 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 2,19

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9715)/2 = 0,9857

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9857 ir nuskaitykite z.

z = 2,19

Atsakymas

z = 2,19

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 247,4 g

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,3

z iš lentelės

z ≈ −0,52

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g

Atsakymas

x = 247,4 g

7.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9969

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 3085 − 36·461/6 = 319

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 36883 − 461²/6 = 1463

Koreliacijos koeficientas

r = 319/√(70·1463) = 0,9969

Atsakymas

r = 0,9969

8.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 72,85

Vidurkiai

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 467/5 = 93,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 411

Regresijos tiesė

b = 411/90 = 4,567

a = 93,4 − 4,567·22 = −7,067

ŷ = −7,067 + 4,567·x

Prognozė

ŷ = −7,067 + 4,567·17,5 = 72,85

Atsakymas

ŷ = 72,85

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 3,156 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 53,5 − 65,5 = −12

Standartinė paklaida

SE = √(12²/50 + 8²/80) = 1,918

Paklaidos riba

E = 1,645·1,918 = 3,156

Atsakymas

E = 3,156 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1037

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,04² = 1037

Apvalinkite aukštyn

n = 1037

Atsakymas

n = 1037

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,6

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Testo statistika

t = (494,8 − 500)/2 = −2,6

Atsakymas

t = −2,6

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: β = 55,76 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 200 − 1,645·3 = 195,1

z esant tikrajam vidurkiui

z = (195,1 − 195,5)/3 = −0,145

II rūšies klaida

galia = P(Z < −0.145) = 44.24%

β = 100% − 44,24% = 55,76%

Atsakymas

β = 55,76%

13.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 35,35

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 75·74/157 = 35,35

Atsakymas

E = 35,35

14.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 4

Laisvės laipsniai

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

Atsakymas

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice