AP Statistics uždaviniai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 33, 15, 24, 57, 44, 51, 15.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 10. Raskite rezultato 82,5 z įvertį z.

μ = 70σ = 10x = 82,5

z =

3.TikimybėVidutinis

Simetriškas kauliukas metamas 8 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 8

P =

4.TikimybėSunkus

Teste yra 9 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,6, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?

n = 9p = 0,6k = 5

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9031. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9031

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 60 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 15Σy = 101Σx² = 55Σy² = 2185Σxy = 265

r =

8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3,5, 37). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 37)

e =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

8 elementų imties vidurkis – 52,5, standartinis nuokrypis s = 6,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 8x̄ = 52,5s = 6,595%t(7) = 2,365

viršutinis rėžis =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,025?

p = 0,5E = 0,02599%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

6 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 8, o skirtumų standartinis nuokrypis 7. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μ_d = 0.

n = 6d̄ = 8s_d = 7

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

64 matavimų imties vidurkis – 50,1. Populiacijos standartinis nuokrypis – 10. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 50,1σ = 10n = 6490%

U =

13.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 2202 × 3

χ² =

14.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 11 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 11

df =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 17,03

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 239/7 = 34,14

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−1,143)² + (−19,14)² + (−10,14)² + 22,86² + 9,857² + 16,86² + (−19,14)² = 1741

Standartinis nuokrypis

s = √(1741/6) = 17,03

Atsakymas

s = 17,03

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 1,25

Standartizuokite

z = (82,5 − 70)/10 = 1,25

Atsakymas

z = 1,25

3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,7674

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Atsakymas

P = 0,7674

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2508

Binominė formulė

P(X = 5) = 126·0,6⁵·0,4⁴ = 126·0,07776·0,0256 = 0,2508

Atsakymas

P = 0,2508

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,66

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9031)/2 = 0,9515

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9515 ir nuskaitykite z.

z = 1,66

Atsakymas

z = 1,66

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 248,8 g

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,4

z iš lentelės

z ≈ −0,25

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g

Atsakymas

x = 248,8 g

7.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9986

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 265 − 15·101/5 = −38

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2185 − 101²/5 = 144,8

Koreliacijos koeficientas

r = −38/√(10·144,8) = −0,9986

Atsakymas

r = −0,9986

8.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −3,2

Vidurkiai

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 294/6 = 49

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 77

Regresijos tiesė

b = 77/17,5 = 4,4

a = 49 − 4,4·5,5 = 24,8

ŷ = 24,8 + 4,4·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 24,8 + 4,4·3,5 = 40,2

Liekana

e = 37 − 40,2 = −3,2

Atsakymas

e = −3,2

Taškas yra po tiese.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 57,93

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Paklaidos riba

E = 2,365·6,5/√8 = 5,435

Intervalas

52,5 ± 5,435 → [47,07, 57,93]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 57,93

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 2655

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,025² = 2654

Apvalinkite aukštyn

n = 2655

Atsakymas

n = 2655

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,799

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 7/√6 = 2,858

Testo statistika

t = 8/2,858 = 2,799

Atsakymas

t = 2,799

Kai df = 5, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,571; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 52,16

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,645·10/√64 = 2,056

Intervalo rėžis

U = 50,1 + 2,056 = 52,16

Atsakymas

U = 52,16

13.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 16,02

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

studentai: 120·44/220 = 24, 120·99/220 = 54, 120·77/220 = 42

darbuotojai: 100·44/220 = 20, 100·99/220 = 45, 100·77/220 = 35

Chi kvadrato statistika

χ² = (27 − 24)²/24 + (65 − 54)²/54 + (28 − 42)²/42 + (17 − 20)²/20 + (34 − 45)²/45 + (49 − 35)²/35

χ² = 16,02

Atsakymas

χ² = 16,02

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

14.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 10

Laisvės laipsniai

df = 11 − 1 = 10

Atsakymas

df = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice