AP Statistics uždaviniai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 41, 41, 11, 12, 51, 46.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 53,6?

μ = 60σ = 8x = 53,6

P =

3.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 6 žmonių grupės galima išrinkti 3 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 6k = 3

N =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 11 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,1. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 11p = 0,1

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 242 ir 254,25 g? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 250σ = 5x₁ = 242x₂ = 254,25

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 97,5 % reikšmių (97,5-asis procentilis).

μ = 32σ = 6P = 97,5%

x = min

7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5

r =

8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (1,5, 38). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 38)

e =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 100 telefonų, vidurkis 49,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 11 h. 2 modelis: 80 telefonų, vidurkis 44,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 3 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 100x̄₁ = 49,5 hσ₁ = 11 hn₂ = 80x̄₂ = 44,5 hσ₂ = 3 h99%

viršutinis rėžis = h

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 7. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5?

σ = 7E = 0,590%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 78,87, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 78,87s = 12n = 81

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 78 iš 120 pacientų, gydytų A būdu, ir 42 iš 80 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 78n₁ = 120x₂ = 42n₂ = 80

z =

13.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 2402 × 3

χ² =

14.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 6 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²_crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 17,57

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 202/6 = 33,67

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 7,333² + 7,333² + (−22,67)² + (−21,67)² + 17,33² + 12,33² = 1543

Standartinis nuokrypis

s = √(1543/5) = 17,57

Atsakymas

s = 17,57

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,2119

Standartizuokite

z = −0,8

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Atsakymas

P = 0,2119

3.Tikimybė

Atsakymas: N = 20

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Atsakymas

N = 20

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,6974

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,9¹¹ = 0,3138

P(X = 1) = 11·0,1·0,9¹⁰ = 0,3835

Sudėkite

P = 0,3138 + 0,3835 = 0,6974

Atsakymas

P = 0,6974

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7475

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (242 − 250)/5 = −1,6

z₂ = (254,25 − 250)/5 = 0,85

Plotas tarp

P = Φ(0,85) − Φ(−1,6) = 0,8023 − 0,0548 = 0,7475

Atsakymas

P = 0,7475

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 43,76 min

Procentilio z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Atgal į x

x = 32 + 1,96·6 = 43,76 min

Atsakymas

x = 43,76 min

7.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,8906

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 294/5 = 58,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 25

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 78,8

Koreliacijos koeficientas

r = 25/√(10·78,8) = 0,8906

Atsakymas

r = 0,8906

8.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −5,371

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 300/6 = 50

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58

Regresijos tiesė

b = 58/17,5 = 3,314

a = 50 − 3,314·3,5 = 38,4

ŷ = 38,4 + 3,314·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 38,4 + 3,314·1,5 = 43,37

Liekana

e = 38 − 43,37 = −5,371

Atsakymas

e = −5,371

Taškas yra po tiese.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 7,962 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 49,5 − 44,5 = 5

Standartinė paklaida

SE = √(11²/100 + 3²/80) = 1,15

Paklaidos riba

E = 2,576·1,15 = 2,962

Intervalas

5 ± 2,962 → [2,038, 7,962]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 7,962 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 531

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,645·7/0,5)² = 530,4

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 531

Atsakymas

n = 531

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,903

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Testo statistika

t = (78,87 − 75)/1,333 = 2,903

Atsakymas

t = 2,903

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 1,768

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 78/120 = 0,65

p̂₂ = 42/80 = 0,525

p̂ = 120/200 = 0,6

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,6·0,4·(1/120 + 1/80)) = 0,07071

Testo statistika

z = (0,65 − 0,525)/0,07071 = 1,768

Atsakymas

z = 1,768

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

13.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 49,52

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

dieninė pamaina: 120·48/240 = 24, 120·108/240 = 54, 120·84/240 = 42

naktinė pamaina: 120·48/240 = 24, 120·108/240 = 54, 120·84/240 = 42

Chi kvadrato statistika

χ² = (16 − 24)²/24 + (36 − 54)²/54 + (68 − 42)²/42 + (32 − 24)²/24 + (72 − 54)²/54 + (16 − 42)²/42

χ² = 49,52

Atsakymas

χ² = 49,52

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

14.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²_crit = 13,28

Laisvės laipsniai

df = 6 − 1 − 1 = 4

Lentelė

χ²_crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277

Atsakymas

χ²_crit = 13,277

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice