AP Statistics uždaviniai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 13, 38, 18, 48, 28, 22, 50.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 56?

μ = 60σ = 8x = 56

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,2, 0,15

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 7 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,7. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 7p = 0,7

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,6331. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,6331

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 75 % reikšmių (75-asis procentilis).

μ = 100σ = 15P = 75%

x = tšk.

7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 64?

n = 5ŷ = 64

x =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

12 elementų imties vidurkis – 95, standartinis nuokrypis s = 1. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 12x̄ = 95s = 199%t(11) = 3,106

E =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 35. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?

σ = 35E = 490%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 100; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 30. Atsitiktinės 100 stebėjimų imties vidurkis 95,8. Tikrinkite H₀: μ = 100 prieš H₁: μ ≠ 100. Raskite p reikšmę p.

μ₀ = 100σ = 30n = 100x̄ = 95,8H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5? Standartinis nuokrypis – 8. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 8E = 2,590%

n =

13.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1602 × 2

χ² =

14.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 8 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 8

df =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,62

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 217/7 = 31

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−18)² + 7² + (−13)² + 17² + (−3)² + (−9)² + 19² = 1282

Standartinis nuokrypis

s = √(1282/6) = 14,62

Atsakymas

s = 14,62

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,3085

Standartizuokite

z = −0,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Atsakymas

P = 0,3085

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,928

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,25 + 4·0,2 + 5·0,15 = 2,85

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,25 + 16·0,2 + 25·0,15 = 10,05

Dispersija

Var(X) = 10,05 − 2,85² = 1,928

Atsakymas

Var(X) = 1,928

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,003791

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,3⁷ = 0,0002187

P(X = 1) = 7·0,7·0,3⁶ = 0,003572

Sudėkite

P = 0,0002187 + 0,003572 = 0,003791

Atsakymas

P = 0,003791

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = −0,34

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,6331 = 0,3669

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,3669 ir nuskaitykite z.

z = −0,34

Atsakymas

z = −0,34

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 110,1 tšk.

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Atgal į x

x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 tšk.

Atsakymas

x = 110,12 tšk.

7.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9949

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 157/6 = 26,17

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 229

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 756,8

Koreliacijos koeficientas

r = 229/√(70·756,8) = 0,9949

Atsakymas

r = 0,9949

8.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 5,913

Vidurkiai

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 345/5 = 69

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 184

Regresijos tiesė

b = 184/40 = 4,6

a = 69 − 4,6·7 = 36,8

ŷ = 36,8 + 4,6·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (64 − 36,8)/4,6 = 5,913

Atsakymas

x = 5,913

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 0,8966

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Paklaidos riba

E = 3,106·1/√12 = 0,8966

Atsakymas

E = 0,8966

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 208

Išreikškite n

n = (1,645·35/4)² = 207,2

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 208

Atsakymas

n = 208

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: p = 0,1615

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Testo statistika

SE = σ/√n = 30/√100 = 3

z = (95,8 − 100)/3 = −1,4

Uodegos plotas

Φ(1,4) = 0,9192

1 − Φ(1,4) = 0,0808

p reikšmė

p = 2·0,0808 = 0,1615

Atsakymas

p = 0,1615

p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 28

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,645·8/2,5)² = 27,71

Apvalinkite aukštyn

n = 28

Atsakymas

n = 28

13.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 7,033

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

vyrai: 80·56/160 = 28, 80·104/160 = 52

moterys: 80·56/160 = 28, 80·104/160 = 52

Chi kvadrato statistika

χ² = (20 − 28)²/28 + (60 − 52)²/52 + (36 − 28)²/28 + (44 − 52)²/52

χ² = 7,033

Atsakymas

χ² = 7,033

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

14.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 6

Laisvės laipsniai

df = 8 − 1 − 1 = 6

Atsakymas

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice