Matematinė analizė 1: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ribos

Tiesioginis įstatymas
pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje
dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Lopitalio taisyklė
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išvestinės

Laipsnio išvestinė
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė
(uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

  1. Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
  2. Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
  3. Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
  4. Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Optimizavimas

Metodas
užrašykite Q(x) su vienu kintamuoju, išspręskite Q′(x) = 0, patikrinkite Q″ arba intervalo galus
Maksimumas
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimumas
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Uždaras cilindras
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Pelnas
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralai

Laipsnio išvestinė
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių
∫ab (f − g) dx

Metodas

  1. Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
  2. Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o ex, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
  3. Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
  4. Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

2Uždaviniai

1.RibosVidutinis
xyy = L

Raskite ribą L = limx→∞ (1 + 0,5/x)x. Pateikite dešimtainę reikšmę.

f(x) = (1 + 0,5/x)xx → ∞
L =
2.RibosSunkus
xyx = 0

Raskite ribą L = limx→0 (e−2x − 1 + 2x)/x².

f(x) = (e−2x − 1 + 2x)/x²x → 0
L =
3.IšvestinėsVidutinis
xyx = 2

Tegu f(x) = x·sin(2x), x radianais. Raskite f′(2).

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad
f′(2) =
4.IšvestinėsSunkus
xy

Tegu f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 1. Raskite lokaliojo maksimumo x koordinatę x.

f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 1
x =
5.OptimizavimasVidutinis
gatvės pusė: €25/m€8/myyx

200 m² stačiakampis sklypas aptveriamas iš visų keturių pusių. Gatvės pusės, kurios ilgis x, tvora kainuoja €25 už metrą; kitų trijų pusių – €8 už metrą. Raskite mažiausią bendrą kainą C.

A = 200 m²€25/m€8/m
C = €
6.OptimizavimasSunkus
p (€)R(p)10dabar

Teatras per spektaklį parduoda 450 bilietų po €10. Rinkos tyrimas rodo, kad kiekvienas bilieto kainos padidinimas €1 reiškia 25 mažiau parduotų bilietų (o kiekvienas sumažinimas €1 – 25 daugiau). Raskite didžiausias pajamas R per spektaklį.

450 × €1025 / €1
R = €
7.IntegralaiVidutinis
xy13

Apskaičiuokite I = ∫13 4/x dx.

f(x) = 4/x[1, 3]
I =
8.IntegralaiSunkus
xy−22

Raskite srities tarp parabolės y = 4 − x² ir x ašies plotą A.

y = 4 − x²
A =

3Tirpalai

1.Ribos

Atsakymas: L = 1,649

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Logaritmuokite

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 0,5/x)

Apskaičiuokite

ln(1 + u)/u → 1, kai u → 0, todėl x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·0,5 = 0,5

Grįžkite nuo logaritmo

L = e0,5 = 1,649

Atsakymas

L = 1,649
2.Ribos

Atsakymas: L = 2

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Pirmasis taikymas

(−2·e−2x + 2)/(2x) → 0/0

Antrasis taikymas

4·e−2x/2

Įstatykite x = 0

L = 4·1/2 = 2

Atsakymas

L = 2
3.Išvestinės

Atsakymas: f′(2) = −3,371

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos ir grandinės taisyklės

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Įstatykite

f′(2) = −0,7568 + 4·(−0,6536) = −3,371

Atsakymas

f′(2) = −3,371
4.Išvestinės

Atsakymas: x = −3

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Išvestinė

f′(x) = 3x2 + 12x + 9 = 3·(x2 + 4x + 3)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −3 arba x = −1

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x + 12: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−3) = −6, f″(−1) = 6
x = −3

Atsakymas

x = −3
5.Optimizavimas

Atsakymas: C = 649,9 €

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Kaina kaip x funkcija

C(x) = 33x + 3200/x

Prilyginkite išvestinę nuliui

C″(x) = 6400/x³ > 0, todėl tai minimumas.

x = √(3200/33) = 9,847 m
y = 200/9,847 = 20,31 m

Mažiausia kaina

C = 33·9,847 + 3200/9,847 = €649,9

Atsakymas

C = €649,9
6.Optimizavimas

Atsakymas: R = 4900 €

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Pajamos kaip kainos funkcija

n(p) = 700 − 25p
R(p) = 700p − 25p²

Prilyginkite išvestinę nuliui

R″(p) = −50 < 0, todėl tai maksimumas.

p = 700/50 = €14

Didžiausios pajamos

n = 700 − 25·14 = 350
R = 14·350 = €4900

Atsakymas

R = €4900
7.Integralai

Atsakymas: I = 4,394

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = 4·ln x

Įstatykite rėžius

I = 4·(ln 3 − ln 1) = 4·ln 3 = 4,394

Atsakymas

I = 4,394
8.Integralai

Atsakymas: A = 10,67

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Nuliai

4 − x² = 0 → x = ±2

Integruokite

A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Atsakymas

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1