Matematinė analizė 1: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ribos

Tiesioginis įstatymas: pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje: dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Lopitalio taisyklė: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Optimizavimas

Metodas: užrašykite Q(x) su vienu kintamuoju, išspręskite Q′(x) = 0, patikrinkite Q″ arba intervalo galus
Maksimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Uždaras cilindras: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Pelnas: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

2Uždaviniai

1.RibosVidutinis

Raskite ribą L = lim_x→∞ (5x² − 2)/(3x² + 6x + 3).

f(x) = (5x² − 2)/(3x² + 6x + 3)x → ∞

L =

2.RibosSunkus

Raskite ribą L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(4x²), kai x radianais.

f(x) = (1 − cos 4x)/(4x²)x → 0

L =

3.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·sin(x), x radianais. Raskite f′(0,5).

f(x) = x·sin(x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

4.IšvestinėsSunkus

Funkcijos f(x) = −x² + 2 liestinė taške x = 3 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = −x² + 2x = 3

b =

5.OptimizavimasVidutinis

Atvira dėžė (be dangčio) kvadratiniu dugnu turi talpinti 13500 cm³. Sunaudokite kuo mažiau medžiagos, t. y. dugno ir keturių šonų plotas turi būti mažiausias. Raskite aukštį h.

V = 13500 cm³

h = cm

6.OptimizavimasSunkus

Įmonė per savaitę parduoda q vienetų. Kaina, už kurią juos galima parduoti, yra p = 110 − 0,25q eurų už vienetą, o sąnaudos C(q) = 1800 + 55q eurų. Raskite didžiausią savaitės pelną P.

p = 110 − 0,25qC = 1800 + 55q

P = €

7.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀¹ x·sin x dx (x radianais).

∫₀¹ x·sin x dx

I =

8.IntegralaiSunkus

Sritis tarp tiesės y = 3x ir parabolės y = x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 3xy = x²

V =

3Tirpalai

1.Ribos

Atsakymas: L = 1,667

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Padalykite iš aukščiausio laipsnio

(5 + (−2)/x²)/(3 + 6/x + 3/x²)

Tegu x → ∞

L = 5/3 = 1,667

Atsakymas

L = 1,667

Kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui.

2.Ribos

Atsakymas: L = 2

Pirmasis taikymas

4·sin 4x/(8x) → 0/0

Antrasis taikymas

16·cos 4x/8

Įstatykite x = 0

L = 16/8 = 2

Atsakymas

L = 2

3.Išvestinės

Atsakymas: f′(0.5) = 0,9182

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos ir grandinės taisyklės

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Įstatykite

f′(0,5) = 0,4794 + 0,5·0,8776 = 0,9182

Atsakymas

f′(0,5) = 0,9182

4.Išvestinės

Atsakymas: b = 11

Taškas ir krypties koeficientas

f(3) = −7

f′(x) = −2x → f′(3) = −6

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −7 − (−6)·3 = 11

Atsakymas

b = 11

5.Optimizavimas

Atsakymas: h = 15 cm

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Plotas kaip x funkcija

S(x) = x² + 54000/x

Prilyginkite išvestinę nuliui

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, todėl tai minimumas.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Aukštis ir plotas

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Atsakymas

h = 15 cm

Geriausios atviros dėžės aukštis lygus pusei jos pločio.

6.Optimizavimas

Atsakymas: P = 1225 €

Pelno funkcija

P(q) = (110 − 0,25q)·q − (1800 + 55q) = −0,25q² + 55q − 1800

Prilyginkite išvestinę nuliui

P″(q) = −0,5 < 0, todėl tai maksimumas.

q = 55/0,5 = 110

Kaina ir pelnas

p = 110 − 0,25·110 = €82,5

P = 55·110 − 0,25·110² − 1800 = €1225

Atsakymas

P = €1225

7.Integralai

Atsakymas: I = 0,3012

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Pirmykštė funkcija

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Ribos

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012

Atsakymas

I = 0,3012

8.Integralai

Atsakymas: V = 101,8

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Susikirtimo taškai

3x = 1x² → x = 0, x = 3

Žiedų metodas

V = π∫₀³ ((3x)² − (1x²)²) dx

Integruokite

V = π(9·3³/3 − 1·3⁵/5) = π·32,4 = 101,8

Atsakymas

V = 101,8

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1