Matematinė analizė 1: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ribos

Tiesioginis įstatymas
pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje
dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Lopitalio taisyklė
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išvestinės

Laipsnio išvestinė
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė
(uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

  1. Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
  2. Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
  3. Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
  4. Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Optimizavimas

Metodas
užrašykite Q(x) su vienu kintamuoju, išspręskite Q′(x) = 0, patikrinkite Q″ arba intervalo galus
Maksimumas
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimumas
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Uždaras cilindras
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Pelnas
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralai

Laipsnio išvestinė
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių
∫ab (f − g) dx

Metodas

  1. Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
  2. Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o ex, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
  3. Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
  4. Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

2Uždaviniai

1.RibosVidutinis
xyy = L

Raskite ribą L = limx→∞ (√(4x2 − 2x) − 2x).

f(x) = √(4x2 − 2x) − 2xx → ∞
L =
2.RibosSunkus
xyx = 0

Raskite ribą L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(4x), kai x radianais.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(4x)x → 0
L =
3.IšvestinėsVidutinis
xyx = 3

Tegu f(x) = ln(x2 + 1). Raskite f′(3).

f(x) = ln(x2 + 1)x = 3
f′(3) =
4.IšvestinėsSunkus
xy

Tegu f(x) = x3 − 1,5x2 − 6x + 2. Raskite lokaliojo minimumo x koordinatę x.

f(x) = x3 − 1,5x2 − 6x + 2
x =
5.OptimizavimasVidutinis
xhxbe dangčio

Atvira dėžė (be dangčio) kvadratiniu dugnu turi talpinti 13500 cm³. Sunaudokite kuo mažiau medžiagos, t. y. dugno ir keturių šonų plotas turi būti mažiausias. Raskite mažiausią paviršiaus plotą S.

V = 13500 cm³
S = cm²
6.OptimizavimasSunkus
qP(q)maksimumas

Įmonė per savaitę parduoda q vienetų. Kaina, už kurią juos galima parduoti, yra p = 180 − 2q eurų už vienetą, o sąnaudos C(q) = 100 + 135q eurų. Raskite kainą p, kuriai esant pelnas didžiausias.

p = 180 − 2qC = 100 + 135q
p = €
7.IntegralaiVidutinis
xyπy = x·cos x

Apskaičiuokite I = ∫₀π x·cos x dx (x radianais).

∫₀π x·cos x dx
I =
8.IntegralaiSunkus
xyy = 0,5x2​y = x

Raskite srities, apribotos y = 0,5x2 ir y = x, plotą A.

y = 0,5x2y = x
A =

3Tirpalai

1.Ribos

Atsakymas: L = −0,5

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Padauginkite iš jungtinio reiškinio

f(x) = −2x/(√(4x2 − 2x) + 2x)

Padalykite iš x

f(x) = −2/(√(4 + (−2)/x) + 2)

Tegu x → ∞

L = −2/(2 + 2) = −0,5

Atsakymas

L = −0,5
2.Ribos

Atsakymas: L = 0,5

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Lopitalio taisyklė

L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[4·cos 4x]

Įstatykite x = 0

L = 2/4 = 0,5

Atsakymas

L = 0,5
3.Išvestinės

Atsakymas: f′(3) = 0,6

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Grandinės taisyklė logaritmui

f′(x) = 2x/(x2 + 1)

Įstatykite

f′(3) = 6/10 = 0,6

Atsakymas

f′(3) = 0,6
4.Išvestinės

Atsakymas: x = 2

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Išvestinė

f′(x) = 3x2 − 3x − 6 = 3·(x2 − x − 2)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −1 arba x = 2

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x − 3: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−1) = −9, f″(2) = 9
x = 2

Atsakymas

x = 2
5.Optimizavimas

Atsakymas: S = 2700 cm²

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Plotas kaip x funkcija

S(x) = x² + 54000/x

Prilyginkite išvestinę nuliui

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, todėl tai minimumas.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Aukštis ir plotas

h = 13500/30² = 15 cm
S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Atsakymas

S = 2700 cm²

Geriausios atviros dėžės aukštis lygus pusei jos pločio.

6.Optimizavimas

Atsakymas: p = 157,5 €

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Pelno funkcija

P(q) = (180 − 2q)·q − (100 + 135q) = −2q2 + 45q − 100

Prilyginkite išvestinę nuliui

P″(q) = −4 < 0, todėl tai maksimumas.

q = 45/4 = 11,25

Kaina ir pelnas

p = 180 − 2·11,25 = €157,5
P = 45·11,25 − 2·11,25² − 100 = €153,1

Atsakymas

p = €157,5
7.Integralai

Atsakymas: I = −2

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Pirmykštė funkcija

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Ribos

(π·sin π + cos π) − (0 + 1) = −2

Atsakymas

I = −2
8.Integralai

Atsakymas: A = 0,6667

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Susikirtimo taškai

0,5x2 = x → x = 0, x = 2

Integruokite viršutinę minus apatinę

A = [0,5x2 − 0,1667x3]02 = 0,6667

Atsakymas

A = 0,6667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1