Matematinė analizė 1: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ribos

Tiesioginis įstatymas: pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje: dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Lopitalio taisyklė: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Optimizavimas

Metodas: užrašykite Q(x) su vienu kintamuoju, išspręskite Q′(x) = 0, patikrinkite Q″ arba intervalo galus
Maksimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Uždaras cilindras: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Pelnas: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

2Uždaviniai

1.RibosVidutinis

Raskite ribą L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^x. Pateikite dešimtainę reikšmę.

f(x) = (1 + 1/x)^xx → ∞

L =

2.RibosSunkus

Raskite ribą L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x².

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = ln(2x² + 2). Raskite f′(−1).

f(x) = ln(2x² + 2)x = −1

f′(−1) =

4.IšvestinėsSunkus

Funkcijos f(x) = 0,5x² + 3x liestinė taške x = −1 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = 0,5x² + 3xx = −1

b =

5.OptimizavimasVidutinis

Uždara cilindrinė skardinė (su viršumi ir dugnu) turi talpinti 250 cm³. Sunaudojamo metalo kiekis proporcingas visam paviršiaus plotui. Raskite skardinės aukštį h, kuriam esant sunaudojama mažiausiai medžiagos.

V = 250 cm³

h = cm

6.OptimizavimasSunkus

Maža įmonė savo produktą parduoda už pastovią rinkos kainą €60 už vienetą. q vienetų gamybos sąnaudos C(q) = 4500 + 30q + 0,02q² eurų. Raskite gamybos apimtį q, kuriai esant pelnas didžiausias.

p = €60C = 4500 + 30q + 0,02q²

q = vnt.

7.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀¹ x·sin x dx (x radianais).

∫₀¹ x·sin x dx

I =

8.IntegralaiSunkus

Sritis tarp tiesės y = 5x ir parabolės y = 2x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 5xy = 2x²

V =

3Tirpalai

1.Ribos

Atsakymas: L = 2,718

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Logaritmuokite

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x)

Apskaičiuokite

ln(1 + u)/u → 1, kai u → 0, todėl x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

Grįžkite nuo logaritmo

L = e¹ = 2,718

Atsakymas

L = 2,718

2.Ribos

Atsakymas: L = 0,5

Pirmasis taikymas

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

Antrasis taikymas

1·e^x/2

Įstatykite x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Atsakymas

L = 0,5

3.Išvestinės

Atsakymas: f′(−1) = −1

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Grandinės taisyklė logaritmui

f′(x) = 4x/(2x² + 2)

Įstatykite

f′(−1) = −4/4 = −1

Atsakymas

f′(−1) = −1

4.Išvestinės

Atsakymas: b = −0,5

Taškas ir krypties koeficientas

f(−1) = −2,5

f′(x) = x + 3 → f′(−1) = 2

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2,5 − 2·(−1) = −0,5

Atsakymas

b = −0,5

5.Optimizavimas

Atsakymas: h = 6,828 cm

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Plotas kaip r funkcija

h = 250/(πr²)

A(r) = 2πr² + 500/r

Prilyginkite išvestinę nuliui

A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0, todėl tai minimumas.

4πr − 500/r² = 0 → r = ∛(250/(2π)) = 3,414 cm

Aukštis ir plotas

h = 250/(π·3,414²) = 2r = 6,828 cm

A = 2π·3,414² + 500/3,414 = 219,7 cm²

Atsakymas

h = 6,828 cm

Pigiausios uždaros skardinės aukštis lygus jos pločiui: h = 2r.

6.Optimizavimas

Atsakymas: q = 750 vnt.

Pelno funkcija

P(q) = 60q − (4500 + 30q + 0,02q²) = −0,02q² + 30q − 4500

Prilyginkite išvestinę nuliui

P″(q) = −0,04 < 0, todėl tai maksimumas.

30 − 0,04q = 0 → q = 750

Didžiausias pelnas

P = 30·750 − 0,02·750² − 4500 = €6750

Atsakymas

q = 750

7.Integralai

Atsakymas: I = 0,3012

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Pirmykštė funkcija

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Ribos

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012

Atsakymas

I = 0,3012

8.Integralai

Atsakymas: V = 163,6

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Susikirtimo taškai

5x = 2x² → x = 0, x = 2,5

Žiedų metodas

V = π∫₀^2,5 ((5x)² − (2x²)²) dx

Integruokite

V = π(25·2,5³/3 − 4·2,5⁵/5) = π·52,08 = 163,6

Atsakymas

V = 163,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1