Matematinė analizė 1: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ribos

Tiesioginis įstatymas: pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje: dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Lopitalio taisyklė: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Optimizavimas

Metodas: užrašykite Q(x) su vienu kintamuoju, išspręskite Q′(x) = 0, patikrinkite Q″ arba intervalo galus
Maksimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Uždaras cilindras: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Pelnas: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

2Uždaviniai

1.RibosVidutinis

Raskite ribą L = lim_x→∞ (√(x² + 4x) − x).

f(x) = √(x² + 4x) − xx → ∞

L =

2.RibosSunkus

Raskite ribą L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x².

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·e^0,5x. Raskite f′(0,5).

f(x) = x·e^0,5xx = 0,5

f′(0.5) =

4.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ − 9x² + 24x − 1. Raskite lokaliojo minimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ − 9x² + 24x − 1

x =

5.OptimizavimasVidutinis

Atvira dėžė (be dangčio) kvadratiniu dugnu turi talpinti 500 cm³. Sunaudokite kuo mažiau medžiagos, t. y. dugno ir keturių šonų plotas turi būti mažiausias. Raskite mažiausią paviršiaus plotą S.

V = 500 cm³

S = cm²

6.OptimizavimasSunkus

Maža įmonė savo produktą parduoda už pastovią rinkos kainą €75 už vienetą. q vienetų gamybos sąnaudos C(q) = 2900 + 44q + 0,05q² eurų. Raskite didžiausią pelną P.

p = €75C = 2900 + 44q + 0,05q²

P = €

7.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₁⁵ x·ln x dx.

∫₁⁵ x ln x dx

I =

8.IntegralaiSunkus

Sritis tarp tiesės y = x ir parabolės y = x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = xy = x²

V =

3Tirpalai

1.Ribos

Atsakymas: L = 2

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Padauginkite iš jungtinio reiškinio

f(x) = 4x/(√(x² + 4x) + x)

Padalykite iš x

f(x) = 4/(√(1 + 4/x) + 1)

Tegu x → ∞

L = 4/(1 + 1) = 2

Atsakymas

L = 2

2.Ribos

Atsakymas: L = 0,5

Pirmasis taikymas

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

Antrasis taikymas

1·e^x/2

Įstatykite x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Atsakymas

L = 0,5

3.Išvestinės

Atsakymas: f′(0.5) = 1,605

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos taisyklė

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(1 + 0,5·x)

Įstatykite

f′(0,5) = 1,284·(1 + 0,25) = 1,605

Atsakymas

f′(0,5) = 1,605

4.Išvestinės

Atsakymas: x = 4

Išvestinė

f′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3·(x² − 6x + 8)

Išspręskite f′(x) = 0

x = 2 arba x = 4

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x − 18: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(2) = −6, f″(4) = 6

x = 4

Atsakymas

x = 4

5.Optimizavimas

Atsakymas: S = 300 cm²

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Plotas kaip x funkcija

S(x) = x² + 2000/x

Prilyginkite išvestinę nuliui

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0, todėl tai minimumas.

x³ = 1000 → x = 10 cm

Aukštis ir plotas

h = 500/10² = 5 cm

S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

Atsakymas

S = 300 cm²

Geriausios atviros dėžės aukštis lygus pusei jos pločio.

6.Optimizavimas

Atsakymas: P = 1905 €

Pelno funkcija

P(q) = 75q − (2900 + 44q + 0,05q²) = −0,05q² + 31q − 2900

Prilyginkite išvestinę nuliui

P″(q) = −0,1 < 0, todėl tai maksimumas.

31 − 0,1q = 0 → q = 310

Didžiausias pelnas

P = 31·310 − 0,05·310² − 2900 = €1905

Atsakymas

P = €1905

7.Integralai

Atsakymas: I = 14,12

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Pirmykštė funkcija

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Ribos

(12,5·ln 5 − 6,25) − (0 − 0,25) = 14,12

Atsakymas

I = 14,12

8.Integralai

Atsakymas: V = 0,4189

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Susikirtimo taškai

1x = 1x² → x = 0, x = 1

Žiedų metodas

V = π∫₀¹ ((1x)² − (1x²)²) dx

Integruokite

V = π(1·1³/3 − 1·1⁵/5) = π·0,1333 = 0,4189

Atsakymas

V = 0,4189

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1