Matematinė analizė 1: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ribos

Tiesioginis įstatymas
pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje
dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Lopitalio taisyklė
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išvestinės

Laipsnio išvestinė
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė
(uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

  1. Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
  2. Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
  3. Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
  4. Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Optimizavimas

Metodas
užrašykite Q(x) su vienu kintamuoju, išspręskite Q′(x) = 0, patikrinkite Q″ arba intervalo galus
Maksimumas
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimumas
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Uždaras cilindras
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Pelnas
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralai

Laipsnio išvestinė
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių
∫ab (f − g) dx

Metodas

  1. Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
  2. Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o ex, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
  3. Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
  4. Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

2Uždaviniai

1.RibosVidutinis
xyy = L

Raskite ribą L = limx→∞ (√(x2 + 8x) − x).

f(x) = √(x2 + 8x) − xx → ∞
L =
2.RibosSunkus
xyx = 0

Raskite ribą L = limx→0 (1 − cos 3x)/(4x²), kai x radianais.

f(x) = (1 − cos 3x)/(4x²)x → 0
L =
3.IšvestinėsVidutinis
xyx = 2

Tegu f(x) = ln(2x2 + 5). Raskite f′(2).

f(x) = ln(2x2 + 5)x = 2
f′(2) =
4.IšvestinėsSunkus
xyx = 2

Funkcijos f(x) = 2x2 − x + 2 liestinė taške x = 2 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = 2x2 − x + 2x = 2
b =
5.OptimizavimasVidutinis
rh

Uždara cilindrinė skardinė (su viršumi ir dugnu) turi talpinti 400 cm³. Sunaudojamo metalo kiekis proporcingas visam paviršiaus plotui. Raskite spindulį r, kuriam esant sunaudojama mažiausiai medžiagos.

V = 400 cm³
r = cm
6.OptimizavimasSunkus
qP(q)maksimumas

Įmonė per savaitę parduoda q vienetų. Kaina, už kurią juos galima parduoti, yra p = 100 − 1q eurų už vienetą, o sąnaudos C(q) = 300 + 55q eurų. Raskite didžiausią savaitės pelną P.

p = 100 − 1qC = 300 + 55q
P = €
7.IntegralaiVidutinis
xy01

Apskaičiuokite I = ∫01 e−0,5x dx.

f(x) = e−0,5x[0, 1]
I =
8.IntegralaiSunkus
xy2y = 4xy = 2x²

Sritis tarp tiesės y = 4x ir parabolės y = 2x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 4xy = 2x²
V =

3Tirpalai

1.Ribos

Atsakymas: L = 4

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Padauginkite iš jungtinio reiškinio

f(x) = 8x/(√(x2 + 8x) + x)

Padalykite iš x

f(x) = 8/(√(1 + 8/x) + 1)

Tegu x → ∞

L = 8/(1 + 1) = 4

Atsakymas

L = 4
2.Ribos

Atsakymas: L = 1,125

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Pirmasis taikymas

3·sin 3x/(8x) → 0/0

Antrasis taikymas

9·cos 3x/8

Įstatykite x = 0

L = 9/8 = 1,125

Atsakymas

L = 1,125
3.Išvestinės

Atsakymas: f′(2) = 0,6154

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Grandinės taisyklė logaritmui

f′(x) = 4x/(2x2 + 5)

Įstatykite

f′(2) = 8/13 = 0,6154

Atsakymas

f′(2) = 0,6154
4.Išvestinės

Atsakymas: b = −6

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Taškas ir krypties koeficientas

f(2) = 8
f′(x) = 4x − 1 → f′(2) = 7

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 8 − 7·2 = −6

Atsakymas

b = −6
5.Optimizavimas

Atsakymas: r = 3,993 cm

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Plotas kaip r funkcija

h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r

Prilyginkite išvestinę nuliui

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, todėl tai minimumas.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm

Aukštis ir plotas

h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²

Atsakymas

r = 3,993 cm

Pigiausios uždaros skardinės aukštis lygus jos pločiui: h = 2r.

6.Optimizavimas

Atsakymas: P = 206,3 €

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Pelno funkcija

P(q) = (100 − 1q)·q − (300 + 55q) = −q2 + 45q − 300

Prilyginkite išvestinę nuliui

P″(q) = −2 < 0, todėl tai maksimumas.

q = 45/2 = 22,5

Kaina ir pelnas

p = 100 − 1·22,5 = €77,5
P = 45·22,5 − 1·22,5² − 300 = €206,3

Atsakymas

P = €206,3
7.Integralai

Atsakymas: I = 0,7869

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = e−0,5x/(−0,5)

Įstatykite rėžius

I = (e−0,5 − 1)/(−0,5) = (0,6065 − 1)/(−0,5) = 0,7869

Atsakymas

I = 0,7869
8.Integralai

Atsakymas: V = 53,62

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Susikirtimo taškai

4x = 2x² → x = 0, x = 2

Žiedų metodas

V = π∫₀2 ((4x)² − (2x²)²) dx

Integruokite

V = π(16·2³/3 − 4·2⁵/5) = π·17,07 = 53,62

Atsakymas

V = 53,62

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1