Matematinė analizė 1: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ribos

Tiesioginis įstatymas
pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje
dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Lopitalio taisyklė
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išvestinės

Laipsnio išvestinė
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė
(uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

  1. Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
  2. Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
  3. Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
  4. Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Optimizavimas

Metodas
užrašykite Q(x) su vienu kintamuoju, išspręskite Q′(x) = 0, patikrinkite Q″ arba intervalo galus
Maksimumas
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimumas
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Uždaras cilindras
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Pelnas
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralai

Laipsnio išvestinė
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių
∫ab (f − g) dx

Metodas

  1. Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
  2. Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o ex, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
  3. Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
  4. Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

2Uždaviniai

1.RibosVidutinis
xyy = L

Raskite ribą L = limx→∞ (4x3 + 5x − 5)/(5x3 + 4x + 4).

f(x) = (4x3 + 5x − 5)/(5x3 + 4x + 4)x → ∞
L =
2.RibosSunkus
xyx = 0

Raskite ribą L = limx→0 (1 − cos 5x)/(x²), kai x radianais.

f(x) = (1 − cos 5x)/(x²)x → 0
L =
3.IšvestinėsVidutinis
xyx = 1,5

Tegu f(x) = x·ex. Raskite f′(1,5).

f(x) = x·exx = 1,5
f′(1.5) =
4.IšvestinėsSunkus
xy

Tegu f(x) = x3 + 6x2 − 6. Raskite lokaliojo maksimumo x koordinatę x.

f(x) = x3 + 6x2 − 6
x =
5.OptimizavimasVidutinis
gatvės pusė: €40/m€5/myyx

1200 m² stačiakampis sklypas aptveriamas iš visų keturių pusių. Gatvės pusės, kurios ilgis x, tvora kainuoja €40 už metrą; kitų trijų pusių – €5 už metrą. Raskite mažiausią bendrą kainą C.

A = 1200 m²€40/m€5/m
C = €
6.OptimizavimasSunkus
qP(q)maksimumas

Įmonė per savaitę parduoda q vienetų. Kaina, už kurią juos galima parduoti, yra p = 130 − 0,1q eurų už vienetą, o sąnaudos C(q) = 16500 + 15q eurų. Raskite didžiausią savaitės pelną P.

p = 130 − 0,1qC = 16500 + 15q
P = €
7.IntegralaiVidutinis
xy2y = √(2x)

Sritis po y = √(2x) nuo x = 0 iki x = 2 sukama apie x ašį. Raskite kūno (paraboloido) tūrį V.

y = √(2x)0 ≤ x ≤ 2
V =
8.IntegralaiSunkus
xy1,667y = 5xy = 3x²

Sritis tarp tiesės y = 5x ir parabolės y = 3x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 5xy = 3x²
V =

3Tirpalai

1.Ribos

Atsakymas: L = 0,8

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Padalykite iš aukščiausio laipsnio

(4 + 5/x2 + (−5)/x3)/(5 + 4/x2 + 4/x3)

Tegu x → ∞

L = 4/5 = 0,8

Atsakymas

L = 0,8

Kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui.

2.Ribos

Atsakymas: L = 12,5

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Pirmasis taikymas

5·sin 5x/(2x) → 0/0

Antrasis taikymas

25·cos 5x/2

Įstatykite x = 0

L = 25/2 = 12,5

Atsakymas

L = 12,5
3.Išvestinės

Atsakymas: f′(1.5) = 11,2

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos taisyklė

f′(x) = u′v + uv′ = ex·(1 + 1·x)

Įstatykite

f′(1,5) = 4,482·(1 + 1,5) = 11,2

Atsakymas

f′(1,5) = 11,2
4.Išvestinės

Atsakymas: x = −4

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Išvestinė

f′(x) = 3x2 + 12x = 3·(x2 + 4x)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −4 arba x = 0

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x + 12: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−4) = −12, f″(0) = 12
x = −4

Atsakymas

x = −4
5.Optimizavimas

Atsakymas: C = 1470 €

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Kaina kaip x funkcija

C(x) = 45x + 12000/x

Prilyginkite išvestinę nuliui

C″(x) = 24000/x³ > 0, todėl tai minimumas.

x = √(12000/45) = 16,33 m
y = 1200/16,33 = 73,48 m

Mažiausia kaina

C = 45·16,33 + 12000/16,33 = €1470

Atsakymas

C = €1470
6.Optimizavimas

Atsakymas: P = 16563 €

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Pelno funkcija

P(q) = (130 − 0,1q)·q − (16500 + 15q) = −0,1q2 + 115q − 16500

Prilyginkite išvestinę nuliui

P″(q) = −0,2 < 0, todėl tai maksimumas.

q = 115/0,2 = 575

Kaina ir pelnas

p = 130 − 0,1·575 = €72,5
P = 115·575 − 0,1·575² − 16500 = €16563

Atsakymas

P = €16563
7.Integralai

Atsakymas: V = 12,57

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Skritulių metodas

V = π∫₀2 2x dx

Integruokite

V = π·2·2²/2 = 12,57

Atsakymas

V = 12,57
8.Integralai

Atsakymas: V = 48,48

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Susikirtimo taškai

5x = 3x² → x = 0, x = 1,667

Žiedų metodas

V = π∫₀1,667 ((5x)² − (3x²)²) dx

Integruokite

V = π(25·1,667³/3 − 9·1,667⁵/5) = π·15,43 = 48,48

Atsakymas

V = 48,48

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1