Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
Raskite ribą L = limx→∞ (1 + 0,5/x)3x. Pateikite dešimtainę reikšmę.
Raskite ribą L = limx→0 ln(1 + 5x)/sin(3x), kai x radianais.
Tegu f(x) = (3x − 3)4. Raskite f′(2).
Funkcijos f(x) = x2 − 2x liestinė taške x = −2 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.
Uždara cilindrinė skardinė (su viršumi ir dugnu) turi talpinti 750 cm³. Sunaudojamo metalo kiekis proporcingas visam paviršiaus plotui. Raskite spindulį r, kuriam esant sunaudojama mažiausiai medžiagos.
Įmonė per savaitę parduoda q vienetų. Kaina, už kurią juos galima parduoti, yra p = 160 − 0,2q eurų už vienetą, o sąnaudos C(q) = 12300 + 20q eurų. Raskite kainą p, kuriai esant pelnas didžiausias.
Apskaičiuokite I = ∫02 ex dx.
Raskite srities, apribotos y = 2x2 ir y = x, plotą A.
Atsakymas: L = 4,482
Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).
ln(1 + u)/u → 1, kai u → 0, todėl x·ln(1 + a/x) → a.
Atsakymas: L = 1,667
Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).
Atsakymas: f′(2) = 324
Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.
Atsakymas: b = −4
Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.
Atsakymas: r = 4,924 cm
Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.
A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0, todėl tai minimumas.
Pigiausios uždaros skardinės aukštis lygus jos pločiui: h = 2r.
Atsakymas: p = 90 €
Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.
P″(q) = −0,4 < 0, todėl tai maksimumas.
Atsakymas: I = 6,389
Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.
Atsakymas: A = 0,04167
Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1