Matematinė analizė 1: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ribos

Tiesioginis įstatymas: pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje: dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Lopitalio taisyklė: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Optimizavimas

Metodas: užrašykite Q(x) su vienu kintamuoju, išspręskite Q′(x) = 0, patikrinkite Q″ arba intervalo galus
Maksimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Uždaras cilindras: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Pelnas: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

2Uždaviniai

1.RibosVidutinis

Raskite ribą L = lim_x→∞ (−3x² + 3x + 4)/(3x² + 3x + 5).

f(x) = (−3x² + 3x + 4)/(3x² + 3x + 5)x → ∞

L =

2.RibosSunkus

Raskite ribą L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(5x), kai x radianais.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(5x)x → 0

L =

3.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·sin(2x), x radianais. Raskite f′(1).

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

4.IšvestinėsSunkus

Funkcijos f(x) = 0,5x² + x − 3 liestinė taške x = 3 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = 0,5x² + x − 3x = 3

b =

5.OptimizavimasVidutinis

300 m² stačiakampis sklypas aptveriamas iš visų keturių pusių. Gatvės pusės, kurios ilgis x, tvora kainuoja €25 už metrą; kitų trijų pusių – €10 už metrą. Raskite gatvės pusės ilgį x, kuriam esant kaina mažiausia.

A = 300 m²€25/m€10/m

x = m

6.OptimizavimasSunkus

Teatras per spektaklį parduoda 1150 bilietų po €15. Rinkos tyrimas rodo, kad kiekvienas bilieto kainos padidinimas €1 reiškia 50 mažiau parduotų bilietų (o kiekvienas sumažinimas €1 – 50 daugiau). Raskite didžiausias pajamas R per spektaklį.

1150 × €1550 / €1

R = €

7.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

8.IntegralaiSunkus

Sritis tarp tiesės y = 6x ir parabolės y = 2x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 6xy = 2x²

V =

3Tirpalai

1.Ribos

Atsakymas: L = −1

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Padalykite iš aukščiausio laipsnio

(−3 + 3/x + 4/x²)/(3 + 3/x + 5/x²)

Tegu x → ∞

L = −3/3 = −1

Atsakymas

L = −1

Kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui.

2.Ribos

Atsakymas: L = 0,4

Lopitalio taisyklė

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[5·cos 5x]

Įstatykite x = 0

L = 2/5 = 0,4

Atsakymas

L = 0,4

3.Išvestinės

Atsakymas: f′(1) = 0,077

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos ir grandinės taisyklės

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Įstatykite

f′(1) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Atsakymas

f′(1) = 0,077

4.Išvestinės

Atsakymas: b = −7,5

Taškas ir krypties koeficientas

f(3) = 4,5

f′(x) = x + 1 → f′(3) = 4

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4,5 − 4·3 = −7,5

Atsakymas

b = −7,5

5.Optimizavimas

Atsakymas: x = 13,09 m

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Kaina kaip x funkcija

C(x) = 35x + 6000/x

Prilyginkite išvestinę nuliui

C″(x) = 12000/x³ > 0, todėl tai minimumas.

x = √(6000/35) = 13,09 m

y = 300/13,09 = 22,91 m

Mažiausia kaina

C = 35·13,09 + 6000/13,09 = €916,5

Atsakymas

x = 13,09 m

6.Optimizavimas

Atsakymas: R = 18050 €

Pajamos kaip kainos funkcija

n(p) = 1900 − 50p

R(p) = 1900p − 50p²

Prilyginkite išvestinę nuliui

R″(p) = −100 < 0, todėl tai maksimumas.

p = 1900/100 = €19

Didžiausios pajamos

n = 1900 − 50·19 = 950

R = 19·950 = €18050

Atsakymas

R = €18050

7.Integralai

Atsakymas: I = 1,5

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Keitinys

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

Integruokite ir įstatykite rėžius

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1,5

Atsakymas

I = 1,5

8.Integralai

Atsakymas: V = 407,2

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Susikirtimo taškai

6x = 2x² → x = 0, x = 3

Žiedų metodas

V = π∫₀³ ((6x)² − (2x²)²) dx

Integruokite

V = π(36·3³/3 − 4·3⁵/5) = π·129,6 = 407,2

Atsakymas

V = 407,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1