Matematinė analizė 1: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ribos

Tiesioginis įstatymas: pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje: dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Lopitalio taisyklė: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Optimizavimas

Metodas: užrašykite Q(x) su vienu kintamuoju, išspręskite Q′(x) = 0, patikrinkite Q″ arba intervalo galus
Maksimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Uždaras cilindras: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Pelnas: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

2Uždaviniai

1.RibosVidutinis

Raskite ribą L = lim_x→∞ (√(4x² − 4x) − 2x).

f(x) = √(4x² − 4x) − 2xx → ∞

L =

2.RibosSunkus

Raskite ribą L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(3x²), kai x radianais.

f(x) = (1 − cos 3x)/(3x²)x → 0

L =

3.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·sin(3x), x radianais. Raskite f′(2).

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

4.IšvestinėsSunkus

Funkcijos f(x) = −x² − 4x + 2 liestinė taške x = 1 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = −x² − 4x + 2x = 1

b =

5.OptimizavimasVidutinis

Atvira dėžė (be dangčio) kvadratiniu dugnu turi talpinti 13500 cm³. Sunaudokite kuo mažiau medžiagos, t. y. dugno ir keturių šonų plotas turi būti mažiausias. Raskite mažiausią paviršiaus plotą S.

V = 13500 cm³

S = cm²

6.OptimizavimasSunkus

Įmonė per savaitę parduoda q vienetų. Kaina, už kurią juos galima parduoti, yra p = 60 − 1q eurų už vienetą, o sąnaudos C(q) = 100 + 15q eurų. Raskite savaitės gamybos apimtį q, kuriai esant pelnas didžiausias.

p = 60 − 1qC = 100 + 15q

q = vnt.

7.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀³ e^0,5x dx.

f(x) = e^0,5x[0, 3]

I =

8.IntegralaiSunkus

Sritis tarp tiesės y = 2x ir parabolės y = x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 2xy = x²

V =

3Tirpalai

1.Ribos

Atsakymas: L = −1

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Padauginkite iš jungtinio reiškinio

f(x) = −4x/(√(4x² − 4x) + 2x)

Padalykite iš x

f(x) = −4/(√(4 + (−4)/x) + 2)

Tegu x → ∞

L = −4/(2 + 2) = −1

Atsakymas

L = −1

2.Ribos

Atsakymas: L = 1,5

Pirmasis taikymas

3·sin 3x/(6x) → 0/0

Antrasis taikymas

9·cos 3x/6

Įstatykite x = 0

L = 9/6 = 1,5

Atsakymas

L = 1,5

3.Išvestinės

Atsakymas: f′(2) = 5,482

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos ir grandinės taisyklės

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Įstatykite

f′(2) = −0,2794 + 6·0,9602 = 5,482

Atsakymas

f′(2) = 5,482

4.Išvestinės

Atsakymas: b = 3

Taškas ir krypties koeficientas

f(1) = −3

f′(x) = −2x − 4 → f′(1) = −6

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − (−6)·1 = 3

Atsakymas

b = 3

5.Optimizavimas

Atsakymas: S = 2700 cm²

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Plotas kaip x funkcija

S(x) = x² + 54000/x

Prilyginkite išvestinę nuliui

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, todėl tai minimumas.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Aukštis ir plotas

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Atsakymas

S = 2700 cm²

Geriausios atviros dėžės aukštis lygus pusei jos pločio.

6.Optimizavimas

Atsakymas: q = 22,5 vnt.

Pelno funkcija

P(q) = (60 − 1q)·q − (100 + 15q) = −q² + 45q − 100

Prilyginkite išvestinę nuliui

P″(q) = −2 < 0, todėl tai maksimumas.

q = 45/2 = 22,5

Kaina ir pelnas

p = 60 − 1·22,5 = €37,5

P = 45·22,5 − 1·22,5² − 100 = €406,3

Atsakymas

q = 22,5

7.Integralai

Atsakymas: I = 6,963

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = e^0,5x/0,5

Įstatykite rėžius

I = (e^1,5 − 1)/0,5 = (4,482 − 1)/0,5 = 6,963

Atsakymas

I = 6,963

8.Integralai

Atsakymas: V = 13,4

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Susikirtimo taškai

2x = 1x² → x = 0, x = 2

Žiedų metodas

V = π∫₀² ((2x)² − (1x²)²) dx

Integruokite

V = π(4·2³/3 − 1·2⁵/5) = π·4,267 = 13,4

Atsakymas

V = 13,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1