Matematinė analizė 1: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ribos

Tiesioginis įstatymas
pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje
dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Lopitalio taisyklė
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išvestinės

Laipsnio išvestinė
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė
(uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

  1. Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
  2. Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
  3. Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
  4. Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Optimizavimas

Metodas
užrašykite Q(x) su vienu kintamuoju, išspręskite Q′(x) = 0, patikrinkite Q″ arba intervalo galus
Maksimumas
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimumas
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Uždaras cilindras
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Pelnas
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralai

Laipsnio išvestinė
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių
∫ab (f − g) dx

Metodas

  1. Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
  2. Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o ex, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
  3. Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
  4. Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

2Uždaviniai

1.RibosVidutinis
xyy = L

Raskite ribą L = limx→∞ (1 + 1/x)3x. Pateikite dešimtainę reikšmę.

f(x) = (1 + 1/x)3xx → ∞
L =
2.RibosSunkus
xyx = 0

Raskite ribą L = limx→0 (ex − 1 − x)/x².

f(x) = (ex − 1 − x)/x²x → 0
L =
3.IšvestinėsVidutinis
xyx = 0,5

Tegu f(x) = x·sin(2x), x radianais. Raskite f′(0,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad
f′(0.5) =
4.IšvestinėsSunkus
xy

Tegu f(x) = x3 + 9x2 + 24x − 4. Raskite lokaliojo maksimumo x koordinatę x.

f(x) = x3 + 9x2 + 24x − 4
x =
5.OptimizavimasVidutinis
xhxbe dangčio

Atvira dėžė (be dangčio) kvadratiniu dugnu turi talpinti 500 cm³. Sunaudokite kuo mažiau medžiagos, t. y. dugno ir keturių šonų plotas turi būti mažiausias. Raskite dugno kraštinę x.

V = 500 cm³
x = cm
6.OptimizavimasSunkus
qP(q)maksimumas

Įmonė per savaitę parduoda q vienetų. Kaina, už kurią juos galima parduoti, yra p = 60 − 0,25q eurų už vienetą, o sąnaudos C(q) = 200 + 30q eurų. Raskite kainą p, kuriai esant pelnas didžiausias.

p = 60 − 0,25qC = 200 + 30q
p = €
7.IntegralaiVidutinis
xy03

Apskaičiuokite I = ∫03 e0,5x dx.

f(x) = e0,5x[0, 3]
I =
8.IntegralaiSunkus
xy1,5y = 3xy = 2x²

Sritis tarp tiesės y = 3x ir parabolės y = 2x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.

y = 3xy = 2x²
V =

3Tirpalai

1.Ribos

Atsakymas: L = 20,09

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Logaritmuokite

ln L = limx→∞ 3·x·ln(1 + 1/x)

Apskaičiuokite

ln(1 + u)/u → 1, kai u → 0, todėl x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·1 = 3

Grįžkite nuo logaritmo

L = e3 = 20,09

Atsakymas

L = 20,09
2.Ribos

Atsakymas: L = 0,5

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Pirmasis taikymas

(1·ex − 1)/(2x) → 0/0

Antrasis taikymas

1·ex/2

Įstatykite x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Atsakymas

L = 0,5
3.Išvestinės

Atsakymas: f′(0.5) = 1,382

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos ir grandinės taisyklės

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Įstatykite

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Atsakymas

f′(0,5) = 1,382
4.Išvestinės

Atsakymas: x = −4

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Išvestinė

f′(x) = 3x2 + 18x + 24 = 3·(x2 + 6x + 8)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −4 arba x = −2

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x + 18: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−4) = −6, f″(−2) = 6
x = −4

Atsakymas

x = −4
5.Optimizavimas

Atsakymas: x = 10 cm

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Plotas kaip x funkcija

S(x) = x² + 2000/x

Prilyginkite išvestinę nuliui

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0, todėl tai minimumas.

x³ = 1000 → x = 10 cm

Aukštis ir plotas

h = 500/10² = 5 cm
S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

Atsakymas

x = 10 cm

Geriausios atviros dėžės aukštis lygus pusei jos pločio.

6.Optimizavimas

Atsakymas: p = 45 €

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Pelno funkcija

P(q) = (60 − 0,25q)·q − (200 + 30q) = −0,25q2 + 30q − 200

Prilyginkite išvestinę nuliui

P″(q) = −0,5 < 0, todėl tai maksimumas.

q = 30/0,5 = 60

Kaina ir pelnas

p = 60 − 0,25·60 = €45
P = 30·60 − 0,25·60² − 200 = €700

Atsakymas

p = €45
7.Integralai

Atsakymas: I = 6,963

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = e0,5x/0,5

Įstatykite rėžius

I = (e1,5 − 1)/0,5 = (4,482 − 1)/0,5 = 6,963

Atsakymas

I = 6,963
8.Integralai

Atsakymas: V = 12,72

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Susikirtimo taškai

3x = 2x² → x = 0, x = 1,5

Žiedų metodas

V = π∫₀1,5 ((3x)² − (2x²)²) dx

Integruokite

V = π(9·1,5³/3 − 4·1,5⁵/5) = π·4,05 = 12,72

Atsakymas

V = 12,72

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1