Matematinė analizė 1: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ribos

Tiesioginis įstatymas
pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje
dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Lopitalio taisyklė
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išvestinės

Laipsnio išvestinė
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė
(uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

  1. Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
  2. Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
  3. Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
  4. Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Optimizavimas

Metodas
užrašykite Q(x) su vienu kintamuoju, išspręskite Q′(x) = 0, patikrinkite Q″ arba intervalo galus
Maksimumas
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimumas
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Uždaras cilindras
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Pelnas
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralai

Laipsnio išvestinė
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių
∫ab (f − g) dx

Metodas

  1. Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
  2. Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o ex, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
  3. Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
  4. Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

2Uždaviniai

1.RibosVidutinis
xyy = L

Raskite ribą L = limx→∞ (−6x2 + 3x − 7)/(4x2 + x + 5).

f(x) = (−6x2 + 3x − 7)/(4x2 + x + 5)x → ∞
L =
2.RibosSunkus
xyx = 0

Raskite ribą L = limx→0 (1 − cos 5x)/(3x²), kai x radianais.

f(x) = (1 − cos 5x)/(3x²)x → 0
L =
3.IšvestinėsVidutinis
xyx = 1,5

Tegu f(x) = x·sin(2x), x radianais. Raskite f′(1,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 1,5 rad
f′(1.5) =
4.IšvestinėsSunkus
xyx = −2

Funkcijos f(x) = 2x2 − 2 liestinė taške x = −2 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = 2x2 − 2x = −2
b =
5.OptimizavimasVidutinis
xhxbe dangčio

Atvira dėžė (be dangčio) kvadratiniu dugnu turi talpinti 4000 cm³. Sunaudokite kuo mažiau medžiagos, t. y. dugno ir keturių šonų plotas turi būti mažiausias. Raskite mažiausią paviršiaus plotą S.

V = 4000 cm³
S = cm²
6.OptimizavimasSunkus
qP(q)maksimumas

Maža įmonė savo produktą parduoda už pastovią rinkos kainą €25 už vienetą. q vienetų gamybos sąnaudos C(q) = 100 + 4q + 0,25q² eurų. Raskite gamybos apimtį q, kuriai esant pelnas didžiausias.

p = €25C = 100 + 4q + 0,25q²
q = vnt.
7.IntegralaiVidutinis
xy01

Apskaičiuokite I = ∫01 2x·(x² + 1)3 dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 1]
I =
8.IntegralaiSunkus
xy−33

Raskite srities tarp parabolės y = 9 − x² ir x ašies plotą A.

y = 9 − x²
A =

3Tirpalai

1.Ribos

Atsakymas: L = −1,5

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Padalykite iš aukščiausio laipsnio

(−6 + 3/x + (−7)/x2)/(4 + 1/x + 5/x2)

Tegu x → ∞

L = −6/4 = −1,5

Atsakymas

L = −1,5

Kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui.

2.Ribos

Atsakymas: L = 4,167

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Pirmasis taikymas

5·sin 5x/(6x) → 0/0

Antrasis taikymas

25·cos 5x/6

Įstatykite x = 0

L = 25/6 = 4,167

Atsakymas

L = 4,167
3.Išvestinės

Atsakymas: f′(1.5) = −2,829

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos ir grandinės taisyklės

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Įstatykite

f′(1,5) = 0,1411 + 3·(−0,99) = −2,829

Atsakymas

f′(1,5) = −2,829
4.Išvestinės

Atsakymas: b = −10

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Taškas ir krypties koeficientas

f(−2) = 6
f′(x) = 4x → f′(−2) = −8

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − (−8)·(−2) = −10

Atsakymas

b = −10
5.Optimizavimas

Atsakymas: S = 1200 cm²

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Plotas kaip x funkcija

S(x) = x² + 16000/x

Prilyginkite išvestinę nuliui

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0, todėl tai minimumas.

x³ = 8000 → x = 20 cm

Aukštis ir plotas

h = 4000/20² = 10 cm
S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

Atsakymas

S = 1200 cm²

Geriausios atviros dėžės aukštis lygus pusei jos pločio.

6.Optimizavimas

Atsakymas: q = 42 vnt.

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Pelno funkcija

P(q) = 25q − (100 + 4q + 0,25q²) = −0,25q2 + 21q − 100

Prilyginkite išvestinę nuliui

P″(q) = −0,5 < 0, todėl tai maksimumas.

21 − 0,5q = 0 → q = 42

Didžiausias pelnas

P = 21·42 − 0,25·42² − 100 = €341

Atsakymas

q = 42
7.Integralai

Atsakymas: I = 3,75

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Keitinys

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u3 du

Integruokite ir įstatykite rėžius

I = [u4/4]12 = (16 − 1)/4 = 3,75

Atsakymas

I = 3,75
8.Integralai

Atsakymas: A = 36

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Nuliai

9 − x² = 0 → x = ±3

Integruokite

A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36

Atsakymas

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1