Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Dalinės išvestinės
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradientas
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Išvestinė pagal kryptį
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Liečiamoji plokštuma
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Grandinės taisyklė
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Antros eilės išvestinių testas
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dvilypis integralas
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Polinės koordinatės
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Metodas
Dalinei išvestinei kitą kintamąjį laikykite konstanta ir naudokite vieno kintamojo taisykles.
Gradiento uždaviniuose taške apskaičiuokite ∇f = (fx, fy); stačiausiam nuolydžiui naudokite |∇f|, o išvestinei pagal kryptį – ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u.
Ekstremumams kartu išspręskite fx = 0 ir fy = 0, tada kiekvieną tašką klasifikuokite pagal D = fxx·fyy − fxy².
Dvilypiam integralui nubraižykite sritį, pasirinkite tvarką (arba polines koordinates skrituliams), kad vidinės ribos būtų ribojančios kreivės, ir integruokite pirmiausia vidų.
Diferencialinės lygtys
Eksponentinis augimas / mažėjimas
dy/dt = ky → y = y0ekt
Pusėjimo trukmė
k = ln 2 / t½
Niutono aušimo dėsnis
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integruojantysis daugiklis
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Maišymo talpa
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Uždaviniai
1.IntegralaiVidutinis
Apskaičiuokite I = ∫28 3/x dx.
f(x) = 3/x[2, 8]
I =
2.IntegralaiSunkus
Sritis tarp tiesės y = 6x ir parabolės y = 3x² sukama apie x ašį. Raskite kūno tūrį V.
y = 6xy = 3x²
V =
3.Sekos ir eilutėsVidutinis
Lygiai viena iš keturių eilučių konverguoja. Spustelėkite ją.
Raskite srities R tarp parabolės y = x² ir tiesės y = 4x plotą I = ∬R 1 dA.
y = x²y = 4xf = 1
I =
7.Diferencialinės lygtysVidutinis
82 °C kavos puodelis paliekamas 22 °C kambaryje. Po 14 min temperatūra yra 52 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Raskite konstantą k min⁻¹.
T0 = 82 °CTa = 22 °CT(14) = 52 °C
k = min⁻¹
8.Diferencialinės lygtysSunkus
Talpoje yra 500 L vandens, kuriame ištirpinta 20 kg druskos. Sūrymas, kurio litre yra 0,25 kg druskos, įteka 20 L/min greičiu, o gerai išmaišytas tirpalas tokiu pat greičiu išteka. Po kiek minučių t talpoje bus 73 kg druskos?
V = 500 Lm0 = 20 kgc = 0,25 kg/Lr = 20 L/min
t = min
3Tirpalai
1.Integralai
Atsakymas: I = 4,159
Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.
Pirmykštė funkcija
F(x) = 3·ln x
Įstatykite rėžius
I = 3·(ln 8 − ln 2) = 3·ln 4 = 4,159
Atsakymas
I = 4,159
2.Integralai
Atsakymas: V = 120,6
Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.
Susikirtimo taškai
6x = 3x² → x = 0, x = 2
Žiedų metodas
V = π∫₀2 ((6x)² − (3x²)²) dx
Integruokite
V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38,4 = 120,6
Atsakymas
V = 120,6
3.Sekos ir eilutės
Atsakymas: D: Σ 1/(k(k + 2))
Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |ak+1/ak|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |ak|1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σck(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |ck/ck+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.
Patikrinkite kiekvieną eilutę
A: Σ (k + 2)/k² → Dideliems k elgiasi kaip 1/k: diverguoja pagal palyginimą su harmonine eilute.
D: Σ 1/(k(k + 2)) → Mažesnė už 1/k²: konverguoja pagal palyginimo kriterijų.
Atsakymas
D: Σ 1/(k(k + 2))
Atsakymas
D: Σ 1/(k(k + 2))
4.Sekos ir eilutės
Atsakymas: c₃ = 1815
Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.
Išvestinė f⁽³⁾
f⁽³⁾(x) = 3³·e3x
Koeficientas
c₃ = 3³·e6/3! = 1815
c₃ = 1815
Atsakymas
c₃ = 1815
5.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: c = −1,106
Gradientas: ∇f = (fx, fy) nukreiptas stačiausio kilimo kryptimi, o |∇f| yra didžiausias kitimo greitis. Išvestinė kryptimi v yra Duf = ∇f·u su vienetiniu vektoriumi u = v/|v|. Liečiamoji plokštuma taške (a, b) yra z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ji duoda tiesinę f aproksimaciją šalia to taško. Sudėtinės funkcijos taisyklė: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Reikšmė ir nuolydžiai taške
f(2, 0,5) = 2,894
fx = 4x/(x² + y²) → fx(2, 0,5) = 1,882
fy = 4y/(x² + y²) → fy(2, 0,5) = 0,4706
Liečiamoji plokštuma
z = 2,894 + 1,882(x − 2) + 0,4706(y − 0,5)
z = 1,882x + 0,4706y − 1,106
Konstantos narys
c = −1,106
Atsakymas
c = −1,106
6.Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas
Atsakymas: I = 10,67
Kritiniai taškai ir dvilypiai integralai: kritiniame taške fx = fy = 0. Antros eilės išvestinių testas su D = fxxfyy − fxy²: D > 0 ir fxx > 0 yra lokalusis minimumas, D > 0 ir fxx < 0 – lokalusis maksimumas, D < 0 – balno taškas, o D = 0 nieko nenusprendžia. Dvilypiam integralui bendrojoje srityje vidinėmis ribomis imkite sritį ribojančias kreives; skritulių ir išpjovų atveju naudokite polines koordinates, x = r cos θ, y = r sin θ ir dA = r dr dθ (nepamirškite daugiklio r).
Susikirtimo taškai
x² = 4x → x = 0, x = 4
Vidinis integralas
∫x²4x 1 dy = 4x − x²
Išorinis integralas
I = ∫04 (4x − x²) dx = 10,67
Atsakymas
I = 10,67
7.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: k = 0,04951 min⁻¹
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.
Temperatūrų skirtumų santykis
e−14k = 30/60
Išspręskite k atžvilgiu
k = ln(60/30)/14 = 0,04951 min⁻¹
Atsakymas
k = 0,04951 min⁻¹
8.Diferencialinės lygtys
Atsakymas: t = 17,57 min
Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·ekt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.