Matematinė analizė 2: uždaviniai ir egzamino klausimai

Antrasis matematinės analizės kursas: integravimo metodai, sekos ir eilutės su konvergavimo kriterijais, laipsninės eilutės ir Teiloro polinomai, taip pat kelių kintamųjų analizė su dalinėmis išvestinėmis, gradientais, kritiniais taškais ir dvilypiais integralais. Priklausomai nuo studijų programos, dalis šios medžiagos dėstoma kaip Matematinė analizė 3.

Praktikuokitės šiame kurse nemokamai Praktikuotis šiame kurse Laikyti bandomąjį egzaminąKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Pasiruošimo paketas (PDF)Formulių lapai, metodų žingsniai ir uždaviniai su pilnais sprendimais, paruošti spausdinti.

Šio kurso temos

Egzamino patarimai: Matematinė analizė 2

Prieš taikydami bet kurį konvergavimo kriterijų, patikrinkite, ar nariai artėja prie 0; jei ne, eilutė diverguoja.
Teiloro polinomą užrašykite su faktorialais, prieš įrašydami skaičių.
Dvilypiam integralui pirmiausia nubraižykite sritį: brėžinys duoda vidinio integralo ribas.

Išspręsti pavyzdžiai

IntegralaiLengvas

Sritis po y = 0,5x nuo x = 0 iki x = 3 sukama apie x ašį. Raskite kūno (kūgio) tūrį V.

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Raskite V

Rodyti užuominas

Sluoksnis ties x yra skritulys, kurio spindulys y = 0,5x.
V = π∫₀³ (0,5x)² dx.
= π·0,25·x³/3.

Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Skritulių metodas

V = π∫₀³ 0,25x² dx

Integruokite

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Atsakymas

V = 7,069

Patikra: kūgio, kurio spindulys 1,5 ir aukštis 3, tūris (1/3)πr²h = 7,069.

Sekos ir eilutėsVidutinis

Raskite sumą S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3)).

a_k = 12/(k(k + 3))

Raskite S

Rodyti užuominas

Skaidymas paprastosiomis trupmenomis: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
Užrašykite pirmuosius kelis narius: dauguma jų išsiprastina (teleskopinė suma).
Lieka (12/3)·(1 + … + 1/3).

Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σc_k(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |c_k/c_k+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Paprastosios trupmenos

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Atšaukti

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Atsakymas

S = 7,333

Kaip vyksta praktika

„Praktikuotis šiame kurse“ maišo uždavinius iš visų kurso temų, kaip tikrame egzamine.
Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Bandomieji egzaminai yra riboto laiko ir be užuominų, o pabaigoje gaunate rezultatą ir išsamią peržiūrą.

Šio kurso skaičiuoklės

Pusėjimo trukmės ir eksponentinio mažėjimo skaičiuoklė Integralų skaičiuoklė (apibrėžtinių ir neapibrėžtinių)

Susiję kursai

Inžinerinė matematika 2 AP Calculus uždaviniai Inžinerinė matematika Diferencialinės lygtys Skaitiniai metodai Matematinė analizė 1 Statistikos pagrindai Statistika 2: statistinės išvados

Praktikuokitės šiame kurse nemokamai Praktikuotis šiame kurse Laikyti bandomąjį egzaminąKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.